向量的度量恒等式与距离平方和

距离的平方能够展开为数量积。把多个距离合并时，选择重心作为基点，常能消掉所有一次项。

极化与平行四边形法则

对平面或空间向量 $\mathbf u,\mathbf v$ ，展开平方得

|\mathbf u\pm\mathbf v|^2=|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2\pm2\mathbf u\cdot\mathbf v.

相减、相加分别得到

\mathbf u\cdot\mathbf v=\frac{|\mathbf u+\mathbf v|^2-|\mathbf u-\mathbf v|^2}{4},

|\mathbf u+\mathbf v|^2+|\mathbf u-\mathbf v|^2=2(|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2).

第二式表示平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。第一式可将垂直条件改写为 $|\mathbf u+\mathbf v|=|\mathbf u-\mathbf v|$ 。

中点公式与三角形中线

设 $M$ 为 $AB$ 中点， $P$ 为任意点。令 $\mathbf u=\overrightarrow{MP},\mathbf v=\overrightarrow{MA}$ ，则由平行四边形法则

PA^2+PB^2=2PM^2+\frac12AB^2.

因此三角形中，若 $a=BC,b=CA,c=AB$ ，顶点 $A$ 到边 $BC$ 中点的中线长为

m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.

这说明在两点 $A,B$ 固定时， $PA^2+PB^2$ 的等值轨迹可以改写为以其中点为中心的圆；常数太小时轨迹为空，恰等于 $AB^2/2$ 时仅为中点。

加权重心的距离平方分解

给定点 $A_1,\ldots,A_n$ 、正权重 $w_i$ ，令 $W=\sum_iw_i$ ，并定义点 $G$ 的位置向量为 $G=(\sum_iw_iA_i)/W$ 。对任意点 $P$ ，

\sum_iw_iPA_i^2=WPG^2+\sum_iw_iGA_i^2.

证明：写 $\overrightarrow{PA_i}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA_i}$ ，逐项展开平方并相加；交叉项含有 $\sum_iw_i\overrightarrow{GA_i}=\mathbf0$ ，所以消失。

在整个平面或空间内，左侧唯一在 $P=G$ 取得最小值。若 $P$ 受限于直线或圆等轨迹，问题改为求该轨迹上离 $G$ 最近的点，不能直接声称 $P=G$ 可取。

例：三个顶点与边长的联系

设 $G$ 为三角形 $ABC$ 的重心， $a=BC,b=CA,c=AB$ 。则

PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}.

其中常数可这样求：令 $\mathbf u=\overrightarrow{GA},\mathbf v=\overrightarrow{GB},\mathbf w=\overrightarrow{GC}$ ，有 $\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w=\mathbf0$ ，从而

|\mathbf u-\mathbf v|^2+|\mathbf v-\mathbf w|^2+|\mathbf w-\mathbf u|^2=3(|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2+|\mathbf w|^2).

例如三边为 $3,4,5$ ，则三个顶点距离平方和的最小值为 $50/3$ ，取等点为重心。

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极化与平行四边形法则

对平面或空间向量

\mathbf u,\mathbf v

，展开平方得

|\mathbf u\pm\mathbf v|^2=|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2\pm2\mathbf u\cdot\mathbf v.

相减、相加分别得到

\mathbf u\cdot\mathbf v=\frac{|\mathbf u+\mathbf v|^2-|\mathbf u-\mathbf v|^2}{4},

|\mathbf u+\mathbf v|^2+|\mathbf u-\mathbf v|^2=2(|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2).

第二式表示平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。第一式可将垂直条件改写为

|\mathbf u+\mathbf v|=|\mathbf u-\mathbf v|

。

中点公式与三角形中线

设

M

为

AB

中点，

P

为任意点。令

\mathbf u=\overrightarrow{MP},\mathbf v=\overrightarrow{MA}

，则由平行四边形法则

PA^2+PB^2=2PM^2+\frac12AB^2.

因此三角形中，若

a=BC,b=CA,c=AB

，顶点

A

到边

BC

中点的中线长为

m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.

这说明在两点

A,B

固定时，

PA^2+PB^2

的等值轨迹可以改写为以其中点为中心的圆；常数太小时轨迹为空，恰等于

AB^2/2

时仅为中点。

加权重心的距离平方分解

给定点

A_1,\ldots,A_n

、正权重

w_i

，令

W=\sum_iw_i

，并定义点

G

的位置向量为

G=(\sum_iw_iA_i)/W

。对任意点

P

，

\sum_iw_iPA_i^2=WPG^2+\sum_iw_iGA_i^2.

证明：写

\overrightarrow{PA_i}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA_i}

，逐项展开平方并相加；交叉项含有

\sum_iw_i\overrightarrow{GA_i}=\mathbf0

，所以消失。

在整个平面或空间内，左侧唯一在

P=G

取得最小值。若

P

受限于直线或圆等轨迹，问题改为求该轨迹上离

G

最近的点，不能直接声称

P=G

可取。