三次方程：降次、实根分类与三角解法

先消去二次项

设 $ax^3+bx^2+cx+d=0$，其中 $a,b,c,d$ 为实数且 $a\ne0$。置 $x=t-b/(3a)$，展开并除以 $a$，得到

这只是平移变量，不改变实根个数、重数或根的相对次序。后文先求 $t$，最后必须平移回 $x$。

实根个数的判别与证明

记 $D=(q/2)^2+(p/3)^3$。方程 $t^3+pt+q=0$ 的实根分类如下：

证明：当 $p\ge0$ 时，$t^3+pt$ 严格递增，故恰有一个不同实根；只有 $p=q=0$ 时为重根。当 $p<0$，令 $s=\sqrt{-p/3}>0$。导数为 $3(t^2-s^2)$，局部极大、极小分别在 $-s,s$，对应函数值 $q+2s^3,q-2s^3$，二者之积为 $4D$。结合两端的函数值趋势及三段严格单调性，得到上表。

判别量非负时的实根式

当 $D\ge0$ 时，实数立方根意义下

是一个实根。设两个根式分别为 $u,v$，则 $u^3+v^3=-q$，且 $u^3v^3=-(p/3)^3$，所以 $uv=-p/3$。由 $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$ 即得。

$D>0$ 时它就是唯一实根。这里用的是唯一的实数立方根，不能任意选取复立方根后直接相加。$D<0$ 时两个被开方数不再是实数，应另用下文三角解法。

重根情形

若 $D=0$，令 $u=\sqrt[3]{-q/2}$，则 $p=-3u^2,q=-2u^3$，于是

当 $u\ne0$，实根为 $2u,-u$，后者二重；当 $u=0$，三个根全部为零。只写根式 $2u$ 会漏掉另一个不同实根。

三个实根时的三角表示

当 $D<0$ 时必有 $p<0$。令 $s=\sqrt{-p/3}$，取 $\theta\in(0,\pi/3)$ 满足

右侧严格介于 $-1,1$，所以这样的 $\theta$ 唯一存在。三个实根为

代入并用 $4\cos^3u-3\cos u=\cos3u$ 验证。三个角分别处于 $(0,\pi/3),(2\pi/3,\pi),(4\pi/3,5\pi/3)$，对应余弦值分别位于 $(1/2,1),(-1,-1/2),(-1/2,1/2)$，因此根互异；三次多项式不可能有更多不同根。