量词、否定与参数中的存在性

$\forall x\in\mathbb R,\exists y\in\mathbb R,y>x$ 为真，取 $y=x+1$ 即可。交换顺序得到 $\exists y\in\mathbb R,\forall x\in\mathbb R,y>x$，为假；对任何候选 $y$，取 $x=y+1$ 就产生反例。

在 $x\in[0,1]$ 上，$x^2\le a$ 恒成立当且仅当 $a\ge1$；至少对一个 $x$ 成立当且仅当 $a\ge0$。区间改成 $(0,1)$，后一个条件改为 $a>0$，说明端点是否取得必须检查。

设 $x\in[0,2]$，讨论 $x^2-2x+a\ge0$。配方为 $(x-1)^2+a-1$，其中 $(x-1)^2$ 的值域是 $[0,1]$。

若要求对所有 $x$ 成立，就要最小值 $a-1\ge0$，故 $a\ge1$。若只要求存在一个 $x$ 成立，就要最大值 $a\ge0$，故 $a\ge0$。取等时分别由 $x=1$ 和 $x=0$ 或 $2$ 实现。

严格不等式要另外检查端点：在开区间上，函数可能只有上界、下界而没有最值。例如 $x\in(0,1)$ 时，“所有 $x<a$”允许 $a=1$。不能未经检查把严格不等式机械地改成“参数严格大于最大值”。