数列、通项与前缀和

数列、通项与递推关系

按一定顺序排列的一列数称为数列，通常记作 $a_1,a_2,\ldots$ 或 $\{a_n\}$。$a_n$ 表示第 $n$ 项，$n$ 是位置编号。与集合不同，数列保留顺序，同一个数可以在不同位置重复出现。

从函数观点看，无穷数列是定义在正整数集上的函数 $n\mapsto a_n$；有穷数列的定义域为 $\{1,\ldots,N\}$。若下标从 $0$ 开始，应另行声明。

通项公式直接给出第 $n$ 项与 $n$ 的关系，例如 $a_n=2n-1$。并非所有数列都需要或能够用一种简单的初等表达式写出通项。

递推关系用前面的项确定后面的项。例如 $a_{n+1}=2a_n$ 指定了相邻项的关系；还须给出首项才能唯一确定数列。若 $a_1=3$，则依次得到 $3,6,12,\ldots$，通项为 $3\cdot2^{n-1}$。

前 $n$ 项和与通项

定义 $S_n=a_1+\cdots+a_n$，$n\ge1$。当 $n\ge2$ 时，

因此

若另定义空和 $S_0=0$，可统一写成 $a_n=S_n-S_{n-1}$，$n\ge1$。但是题目给出的 $S_n$ 解析式可能仅对正整数成立，把 $n=0$ 代入该解析式所得值未必是 $S_0$；首项必须单独核对。

单调数列与周期数列

设 $\{a_n\}$ 为实数列。若每个相邻差 $a_{n+1}-a_n$ 都大于零，称数列严格递增；都小于零，称严格递减。将条件分别放宽为不小于零、不大于零，得到非减、非增。有穷数列只比较下标范围内的相邻项。

相邻项条件与任意两项的顺序条件等价。例如，若每个相邻差都为正，对 $m<n$ 有

反过来，任意两项条件当然包含相邻项。其他三种情形同理。

无穷数列若存在正整数 $T$，使每个允许的下标均满足 $a_{n+T}=a_n$，则称它为周期数列，$T$ 为一个周期。最小的正整数周期称最小正周期。例如 $a_n=(-1)^n$ 的最小正周期为 $2$。

单调与周期是不同的分类：$(-1)^n$ 周期但不单调，$(-1)^n/n$ 既不单调也不周期。非减的周期数列必为常数列，因为

迫使这一段全部相等；非增情形同理。因此不能把所有不单调数列统称为周期数列。

从有限数据到规律

前四项为 $1,2,3,4$，不能唯一推出 $a_n=n$。例如 $a_n=n+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$ 的前四项也相同，第五项却是 $29$。由少量项猜通项只是猜想，需代回递推或用归纳法证明。

从函数观点理解数列的单调性

数列的自变量只能取约定的整数。判断严格递增只须对每个允许的 $n$ 证明 $a_{n+1}-a_n>0$；连续函数在整个实区间递增是充分条件，却不是必要条件。

例如 $a_n=n^2-4n$，则 $a_{n+1}-a_n=2n-3$。因此 $a_2<a_1$，从第二项起严格递增，最小项为 $a_2=-4$。若用抛物线求得顶点横坐标不是整数，还须比较它左右的两个整数下标，并检查下标范围。

有穷数列求最大项时必须考虑末项；有上界的无穷数列未必有最大项。例如 $a_n=1-1/n$ 的所有项都小于 $1$，且后项总比前项大，所以 $1$ 是上界而不是最大项。