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复数、共轭与运算

基础更新于 2026-09-29

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本页集中列出复数四则运算、共轭法则和模长法则，给出证明、非零条件及模长不等式的全部等号情形。几何轨迹另见复平面、模与轨迹。

复数的定义、相等与分类

在实数范围内，方程 $x^2=-1$ 没有解。引入一个满足 $i^2=-1$ 的新数 $i$ ，称为虚数单位。形如

z=a+bi\qquad(a,b\in\mathbb R)

的数称为复数，全体复数组成复数集 $\mathbb C$ 。这种写法称为复数的代数形式。其中，实数 $a$ 称为 $z$ 的实部，实数 $b$ 称为 $z$ 的虚部，分别记作 $\operatorname{Re}z$ 和 $\operatorname{Im}z$ 。例如 $z=2-3i$ 的实部是 $2$ ，虚部是 $-3$ 。

两个复数相等，当且仅当它们的实部、虚部分别相等：

a+bi=c+di\iff a=c\text{ 且 }b=d \qquad(a,b,c,d\in\mathbb R).

特别地， $a+bi=0$ 当且仅当 $a=b=0$ 。这一规则可以把一个复数方程转化为两个实数方程。

当 $b=0$ 时， $z=a$ 是实数，所以实数集是复数集的子集。
当 $b\ne0$ 时， $z$ 是非实复数，也称虚数。
当 $a=0$ 且 $b\ne0$ 时， $z=bi$ 称为纯虚数。按此约定，零不是纯虚数。

复数还可对应平面点 $(a,b)$ ，从而具有几何表示。点、向量与距离的解释见复平面、模与轨迹；三角形式及辐角见三角形式、乘方与单位根。

加法、减法与乘法

设 $z=a+bi,w=c+di$ ，其中 $a,b,c,d\in\mathbb R$ 。加减法分别对实部和虚部运算：

z+w=(a+c)+(b+d)i,\qquad z-w=(a-c)+(b-d)i.

乘法遵循分配律，并使用 $i^2=-1$ ：

\begin{aligned} zw&=(a+bi)(c+di)\\ &=ac+adi+bci+bdi^2\\ &=(ac-bd)+(ad+bc)i. \end{aligned}

复数的加法和乘法分别满足交换律、结合律；乘法对加法满足分配律。对任意 $z,w,u\in\mathbb C$ ，具体为

z+w=w+z,\quad(z+w)+u=z+(w+u),

zw=wz,\quad(zw)u=z(wu),\quad z(w+u)=zw+zu.

减法和除法不满足交换律，不能将上述性质笼统称作“四则运算都可交换”。

共轭复数与模的定义

若 $z=a+bi$ ，则称 $a-bi$ 为 $z$ 的共轭复数，记作 $\bar z$ 。取共轭保持实部不变，将虚部变为其相反数；几何上对应关于实轴的对称。

复数 $z$ 对应的点到原点的距离称为 $z$ 的模，记作 $|z|$ 。由平面距离公式，

\bar z=a-bi,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2}.

共轭复数仍是复数，模则是非负实数。由乘法公式可得

z\bar z=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2.

除法：用共轭将分母化为实数

设除数 $w=c+di\ne0$ 。这表示 $c,d$ 不同时为零，因而 $c^2+d^2>0$ 。分子、分母同乘 $\bar w=c-di$ ，便有

\begin{aligned} \frac zw &=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\\ &=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\\ &=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i. \end{aligned}

这样做的目的是把分母化成非零实数，进而读出商的实部与虚部。用共轭与模的记号可简写为 $z/w=z\bar w/|w|^2$ 。

共轭运算法则总表

设 $z,w\in\mathbb C$ 。分别对和、差、积、商取共轭，有以下四条规则：

\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\qquad \overline{z-w}=\bar z-\bar w,

\overline{zw}=\bar z\bar w,\qquad \overline{\left(\frac zw\right)}=\frac{\bar z}{\bar w}\quad(w\ne0).

由上述法则反复使用，还得到

\overline{z_1+\cdots+z_n}=\bar z_1+\cdots+\bar z_n,\qquad \overline{z_1\cdots z_n}=\bar z_1\cdots\bar z_n,

\overline{z^n}=(\bar z)^n\quad(n\in\mathbb N_+),\qquad \overline{\frac1z}=\frac1{\bar z}\quad(z\ne0).

整数幂公式对负整数也成立，但须 $z\ne0$ ； $n=0$ 时也按 $z\ne0$ 使用，以避免 $0^0$ 。若 $\lambda\in\mathbb R$ ，则 $\overline{\lambda z}=\lambda\bar z$ ；若系数是复数，则它也必须取共轭，例如 $\overline{iz}=-i\bar z$ 。

与实虚部、模的联系是

\overline{\bar z}=z,\qquad |\bar z|=|z|,\qquad z\bar z=|z|^2,

z+\bar z=2\operatorname{Re}z,\qquad z-\bar z=2i\operatorname{Im}z.

所以 $z\ne0$ 时有 $1/z=\bar z/|z|^2$ 。特别地， $|z|=1$ 当且仅当 $\bar z=1/z$ ；其中写出 $1/z$ 已要求 $z\ne0$ 。

为什么共轭保持四则运算

设 $z=a+bi,w=c+di$ 。由定义，

\overline{z+w}=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=\bar z+\bar w,

\overline{z-w}=(a-c)-(b-d)i=(a-bi)-(c-di)=\bar z-\bar w.

对乘法，分别计算两边：

\overline{zw}=(ac-bd)-(ad+bc)i,

\bar z\bar w=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i.

所以乘法公式成立。对除法，令 $q=z/w$ ，于是 $qw=z$ 。取共轭并用刚证明的乘法公式，得 $\bar q\bar w=\bar z$ 。 $w\ne0$ 保证 $\bar w\ne0$ ，故可除得 $\bar q=\bar z/\bar w$ 。这样没有把待证的除法性质当作已知。

其余基本联系直接由定义验证： $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2$ ；两次共轭把虚部符号改回； $|a-bi|=\sqrt{a^2+(-b)^2}=|z|$ 。

实虚部、特殊复数与分量估计

由 $z=a+bi,\bar z=a-bi$ ，相加和相减分别得到

\operatorname{Re}z=\frac{z+\bar z}{2},\qquad \operatorname{Im}z=\frac{z-\bar z}{2i}.

因此

z\in\mathbb R\iff z=\bar z,\qquad z\text{ 为纯虚数}\iff z=-\bar z\text{ 且 }z\ne0.

本手册的纯虚数排除零。 $z=-\bar z$ 单独只说明实部为零，还包括 $z=0$ 。

分量与模之间有

\max\{|a|,|b|\}\le |z|\le |a|+|b|.

左边由 $a^2\le a^2+b^2,b^2\le a^2+b^2$ 开方而得；右边由 $(|a|+|b|)^2=a^2+b^2+2|ab|\ge |z|^2$ 得到。两处等号各自都当且仅当 $ab=0$ ，即至少一个分量为零。

模长运算法则总表

设 $z,w\in\mathbb C$ 。模是非负实数，因此可以比较大小。

非负性、共轭与实倍数

|z|\ge0,\qquad |z|=0\iff z=0,\qquad |-z|=|\bar z|=|z|,

|\lambda z|=|\lambda|\,|z|\quad(\lambda\in\mathbb R).

乘除与乘方

|zw|=|z|\,|w|,\qquad \left|\frac zw\right|=\frac{|z|}{|w|}\quad(w\ne0),

|z_1\cdots z_n|=|z_1|\cdots|z_n|,\qquad |z^n|=|z|^n\quad(n\in\mathbb N_+).

负整数幂也成立，但须 $z\ne0$ ；特别地 $|1/z|=1/|z|$ 。不要将整数幂规则不加说明地推广到多值的复数分数次幂。

加减：两组双边不等式

\bigl||z|-|w|\bigr|\le |z+w|\le |z|+|w|,

\bigl||z|-|w|\bigr|\le |z-w|\le |z|+|w|.

模长不保持加减等式。例如 $z=1,w=i$ 时， $|z+w|=\sqrt2<2=|z|+|w|$ ，同时 $|z-w|=\sqrt2\ne0=|z|-|w|$ 。

平方展开与平行四边形恒等式

|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\operatorname{Re}(z\bar w),

|z-w|^2=|z|^2+|w|^2-2\operatorname{Re}(z\bar w),

|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2.

两条平方展开式相加，混合项抵消，得到最后一式。几何上它说明平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。

模的乘除、加减界与完整取等条件

乘除

利用共轭的乘法性质，

|zw|^2=(zw)\overline{zw}=z\bar z\,w\bar w=|z|^2|w|^2.

两边均非负，取非负平方根得 $|zw|=|z||w|$ 。若 $w\ne0$ ，在 $z=(z/w)w$ 两边取模，得 $|z|=|z/w||w|$ ，除以正数 $|w|$ 得商的模公式。

加减界

先展开

\begin{aligned} |z\pm w|^2 &=(z\pm w)(\bar z\pm\bar w)\\ &=|z|^2+|w|^2\pm(z\bar w+\bar zw)\\ &=|z|^2+|w|^2\pm2\operatorname{Re}(z\bar w). \end{aligned}

对任意复数 $u=p+qi$ ，有 $-|u|\le p\le|u|$ ，因为 $|u|^2-p^2=q^2\ge0$ 。取 $u=z\bar w$ ，再用模的乘法性质，得

-|z||w|\le\operatorname{Re}(z\bar w)\le|z||w|.

代回平方展开式，两个符号都满足

(|z|-|w|)^2\le|z\pm w|^2\le(|z|+|w|)^2.

各量非负，开平方得到总表中的两组不等式；左端必须是绝对值 $\bigl||z|-|w|\bigr|$ 。

四种等号不能混同

“同向”指两个非零复数对应的向量方向相同，“反向”指方向相反。

等号	代数充要条件	几何含义（两者均非零时）
$\vert z+w\vert =\vert z\vert +\vert w\vert$	$z\bar w$ 为非负实数	同向
$\vert z+w\vert =\bigl\vert \vert z\vert -\vert w\vert \bigr\vert$	$z\bar w$ 为非正实数	反向
$\vert z-w\vert =\vert z\vert +\vert w\vert$	$z\bar w$ 为非正实数	反向
$\vert z-w\vert =\bigl\vert \vert z\vert -\vert w\vert \bigr\vert$	$z\bar w$ 为非负实数	同向

表中的模长竖线在正文数学中表示取模。若 $z=0$ 或 $w=0$ ，四个等号全部成立，代数条件也统一涵盖该情形。

理由是： $\operatorname{Re}u=|u|$ 当且仅当 $u$ 为非负实数， $\operatorname{Re}u=-|u|$ 当且仅当 $u$ 为非正实数；对照展开式的正负号即可。若 $w\ne0$ ，又有 $z\bar w=(z/w)|w|^2$ ，所以 $z\bar w$ 的实数正负正好表示 $z/w$ 的正负。

运算规律的统一记忆与查阅

前面各节的规则可以归纳为：共轭与四则运算可交换；模长与乘除可交换，与加减构成模长不等式。

这里“可交换”说的是两个操作的先后次序。例如，先相加再取共轭，与先分别取共轭再相加，所得结果相同。它不表示减法、除法满足交换律。

操作	相加或相减	相乘	相除（ $w\ne0$ ）
取共轭	$\overline{z\pm w}=\bar z\pm\bar w$	$\overline{zw}=\bar z\bar w$	$\overline{z/w}=\bar z/\bar w$
取模	$\bigl\vert\vert z\vert-\vert w\vert\bigr\vert\le\vert z\pm w\vert\le\vert z\vert+\vert w\vert$	$\vert zw\vert=\vert z\vert\vert w\vert$	$\vert z/w\vert=\vert z\vert/\vert w\vert$

完整的共轭规则见共轭运算法则总表，模的性质见模长运算法则总表，四种模长等号情形及证明见模的运算证明。这些等号条件包括某个复数为零的情形，使用时不能只记非零向量的“同向、反向”。

整数幂由反复乘法得到；负整数幂须底数非零。本手册不把这些规律推广为任意实指数的复数乘方规则。

算例：除法与含共轭的方程

\frac{1+2i}{2-i}=\frac{(1+2i)(2+i)}5=i.

解 $z+2\bar z=3+i$ ，设 $z=a+bi$ ，得 $3a-bi=3+i$ ，所以 $a=1,b=-1$ ， $z=1-i$ 。

例：用共轭把复数除法化为实分母

计算 $(3+4i)/(1-2i)$ ，分子分母同乘 $1+2i$ ：

\frac{3+4i}{1-2i}=\frac{(3+4i)(1+2i)}{1+4}=\frac{-5+10i}{5}=-1+2i.

虚部为实数 $2$ ，不是 $2i$ 。结果的模为 $\sqrt5$ ，也可用商的模检验： $|3+4i|/|1-2i|=5/\sqrt5=\sqrt5$ 。

一般非零复数 $z$ 满足 $1/z=\overline z/|z|^2$ 。分母的非零条件不可省略。

例：实部与虚部分开列方程

设 $z=x+yi$ ， $x,y\in\mathbb R$ ，满足 $z+2\overline z=3+4i$ 。左边为 $3x-yi$ ，比较实部与虚部得 $3x=3,-y=4$ ，所以 $z=1-4i$ 。

求 $i^{2026}$ 可先利用 $i^4=1$ ： $2026=4\times506+2$ ，故 $i^{2026}=-1$ 。只有整数次幂可这样按余数归类，不能把任意实指数也直接作同样处理。

例：只知道模长时，加减能确定什么

设 $|z|=3,|w|=2$ 。乘除可以确定准确值： $|zw|=6$ 、 $|z/w|=3/2$ 。加减只先得到

1\le|z+w|\le5,\qquad1\le|z-w|\le5.

取 $z=3,w=2$ ，和的模为 $5$ ，差的模为 $1$ ；取 $z=3,w=-2$ ，和的模为 $1$ ，差的模为 $5$ 。两个范围端点均可达到，但同一组非零 $z,w$ 不能让和、差的模同时为 $5$ ，因为

|z+w|^2+|z-w|^2=2\cdot9+2\cdot4=26.

这同时说明：不等式的取等条件，以及多个结论的同时可达性，都要检查。

易错点与使用顺序

复数本身不沿用实数的大小关系； $|z|$ 、 $\operatorname{Re}z$ 和 $\operatorname{Im}z$ 是实数，可以比较大小。
共轭穿过四则运算时，要对每个复数系数一并取共轭； $\overline{iz}=-i\bar z$ 。
$z\bar z=|z|^2$ 对全部复数成立； $\bar z=1/z$ 只在 $|z|=1$ 时成立。
模的乘除给等式，模的加减通常只给上下界；任何除法先检查分母非零。
求模的最值时，写出界后还须检查等号配置是否满足题目其余条件。

关联阅读

先修：代数运算、恒等式与因式分解。

同主题：复平面、模与轨迹。