圆锥曲线的焦弦：参数长度与退化方向

椭圆焦弦公式的推导

设椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$a>b>0$，$c^2=a^2-b^2$。过右焦点 $(c,0)$ 的直线写成

代入并乘 $a^2b^2$，得

因 $D>0$ 且根积负，两个交点位于焦点两侧。判别式为 $4a^2b^4$，所以

故 $2b^2/a\le |AB|\le2a$。垂直长轴的焦弦最短，称为通径；沿长轴时最长。

双曲线：分母为零意味着什么

设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$，$a,b>0$，$c^2=a^2+b^2$。同样过右焦点参数化，得

若 $D\ne0$，判别式仍为 $4a^2b^4>0$，所以有两个不同有限交点，

$D<0$ 时根积为负，焦点在弦段内部，两个交点在右支；$D>0$ 时两根同号，焦点在弦段外部，两个交点分属左右两支。支的位置可直接核验。由 $x_i=c+t_i\cos\alpha$ 及韦达关系，

$D>0$ 时横坐标异号，分属两支；$D<0$ 时横坐标同号且和为正，因此都在右支。

若 $D=0$，直线平行于渐近线，方程退化为一次式，只有一个有限交点，不能把弦长写成“无穷大”。此时 $\cos\alpha\ne0$，一次项不会同时消失。

抛物线：轴向直线不构成焦弦

设抛物线 $y^2=2px$，$p>0$，焦点为 $(p/2,0)$。令

则 $\sin^2\alpha\,t^2-2p\cos\alpha\,t-p^2=0$。当 $\sin\alpha\ne0$，两根异号，判别式为 $4p^2$，所以

最短焦弦是垂直轴的通径。当 $\sin\alpha=0$，直线就是轴，只与抛物线交于顶点，不能沿用二交点公式。

若两交点横坐标为 $x_1,x_2$，焦点位于弦段内，利用焦半径 $PF=x+p/2$ 还可得到 $|AB|=x_1+x_2+p$。

抛物线焦弦的端点乘积

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）上一条焦弦的两个不同端点。焦弦不平行于 $x$ 轴，可统一写为 $x=p/2+ty$，其中 $t\in\mathbb R$；这也包括竖直通径 $t=0$。

代入抛物线方程得

由韦达定理，$y_1y_2=-p^2$，因此两端点纵坐标均非零。又 $x_i=y_i^2/(2p)>0$，于是

原点与两端点连线的斜率 $k_i=y_i/x_i$ 均存在，且

这里 $-4$ 对应当前参数约定 $y^2=2px$，并非“两条连线垂直”；垂直的斜率乘积应为 $-1$。

焦半径比值与方向符号

椭圆右焦点 $F=(c,0)$，朝单位方向 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 的端点记为 $P$，反方向端点为 $Q$。由焦准定义或余弦定理，

两分母均为正。若 $FQ=\lambda FP$，则

改变焦点、方向或较长端点的命名，会改变余弦的符号；不能只记比值公式而省略图形约定。

对抛物线 $y^2=2px$ 的焦点，沿同一方向的正向端点满足

因此 $1/FP+1/FQ=2/p$。两种曲线中的正向公式符号不同，源于所选焦点的准线位于哪一侧。

双曲线可能出现焦点在弦段之外，不能不分同支、异支地套用上述“正反方向各一个端点”的模型；应采用本篇带符号参数 $t$ 的二次方程判别。

抛物线焦弦的三个直径圆

抛物线 $y^2=2px$ 上焦弦端点参数为 $A=(pt^2/2,pt),B=(ps^2/2,ps)$，其中 $ts=-1$。设弦中点为 $N=(x_N,y_N)$。由 $AB=2x_N+p$，以 $AB$ 为直径的圆半径为 $x_N+p/2$，恰等于 $N$ 到准线 $x=-p/2$ 的距离，所以该圆与准线相切。

以 $AF$ 为直径的圆的圆心横坐标为 $(x_A+p/2)/2=AF/2$，因此这个圆与 $y$ 轴相切；以 $BF$ 为直径的圆同理。所有长度都是正数，且焦弦不能沿对称轴。

这些相切结论来自圆心到直线的距离等于半径。对一般不过焦点的弦，$AB=2x_N+p$ 通常不成立，不能直接照搬。