二阶线性递推与特征根

二阶常系数齐次线性递推

设数列满足

其中 $p,q$ 为固定实数，先假设 $q\ne0$，并给定 $a_1,a_2$。称其为二阶常系数齐次线性递推：后项是前两项的固定线性组合，没有额外的非齐次项。

特征方程从何而来

尝试寻找形如 $a_n=r^{n-1}$ 的解。将它代入递推，因 $q\ne0$ 时特征根不为零，得到

这个二次方程称为特征方程。

两个不同特征根

若根为 $r_1\ne r_2$，则

两个幂数列分别满足递推，它们的任意线性组合也满足递推。由首两项解得

这不仅给出一些解，还给出全部解：递推与首两项唯一确定第三项，再确定第四项，依此类推。既然所构造表达式满足相同递推和初值，它与原数列逐项相同。

重根情形

若特征根重合为 $r\ne0$，则 $p=2r,q=-r^2$。令 $b_n=a_n/r^{n-1}$，原式变为

即 $b_{n+2}-b_{n+1}=b_{n+1}-b_n$。因此 $b_n$ 是等差数列，得到

这解释了重根公式中为什么多出关于 $n$ 的一次因子。

若特征根为非实共轭数，可在复数中完成上述计算；实系数与实初值保证由递推生成的各项仍为实数。$q=0$ 的降阶情况另见本页“退化与易错点”。

从第零项开始的公式与非实根的实三角形式

有些讲义给定的是 $a_0,a_1$，递推从 $n=0$ 开始：

仍先设 $q\ne0$。把前面公式的下标整体平移一位，即得以下两种形式。

若特征根为 $\alpha\ne\beta$，则

系数由 $A+B=a_0,\alpha A+\beta B=a_1$ 唯一确定。若为二重根 $\alpha\ne0$，则

两种公式分别满足原递推与这两个初值，因此由递推唯一性给出全部解。

非实共轭根怎样化为实数通项

若 $p,q,a_0,a_1$ 为实数，非实特征根必为

上面的 $A,B$ 互为共轭。设 $A=u+iv,B=u-iv$，应用棣莫弗公式并合并实部，可得

也可以直接由初值确定两个实常数：

分母非零由特征根非实保证。这说明复数计算最终怎样得到实数列，也说明复根本身不能保证数列周期：因子 $\rho^n$ 和角度 $n\theta$ 都影响其变化。

若 $q=0$，从 $a_1$ 起按一阶关系处理：$p\ne0$ 时 $a_n=p^{n-1}a_1$（$n\ge1$）；$p=0$ 时 $a_n=0$（$n\ge2$），并保留独立的 $a_0,a_1$。