圆锥曲线的定义与标准方程

椭圆与双曲线的距离定义

设两个不同定点为 $F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$，$c>0$。

• 椭圆是满足 $PF_1+PF_2=2a$ 的点 $P$ 的轨迹，其中 $a>c$。两个定点叫焦点，$2c$ 叫焦距。
• 双曲线是满足 $|PF_1-PF_2|=2a$ 的点 $P$ 的轨迹，其中 $0<a<c$。绝对值包括两支；固定有向距离差为 $2a$ 或 $-2a$ 分别只给出其中一支。

条件保证曲线非退化；参数达到边界时的轨迹在“先判断轨迹存在”中列出。标准方程及各基本量将在下文汇总，这里先说明方程如何由距离定义得到。

椭圆标准方程的推导与反向检查

记 $r_1=PF_1,r_2=PF_2$。有 $r_1+r_2=2a$，而距离平方之差为

故 $r_1-r_2=2cx/a$，于是 $r_1=a+cx/a,r_2=a-cx/a$。将 $r_1^2=(x+c)^2+y^2$ 代入，整理得

令 $b^2=a^2-c^2>0$，即为标准方程。反向，方程保证 $|x|\le a$，故 $a\pm cx/a\ge a-c>0$；距离平方等式开平方后仍给 $r_1=a+cx/a,r_2=a-cx/a$，相加为 $2a$，没有增点。

双曲线标准方程的推导与反向检查

先取右支 $r_1-r_2=2a$。用同一个平方差得到 $r_1+r_2=2cx/a$，所以 $r_1=cx/a+a,r_2=cx/a-a$。代入距离平方得到

令 $b^2=c^2-a^2>0$。左支关于 $y$ 轴对称，得到相同方程。反向，方程保证 $|x|\ge a$。当 $x\ge a$ 时 $cx/a-a\ge c-a>0$，因此开方恢复右支距离差；$x\le-a$ 时得到左支距离差。两支合起来恰满足距离差绝对值为 $2a$。

先判断轨迹存在，再选择标准方程

设两定点间距为 $2c>0$。距离和等于 $L$ 时：$L>2c$ 是椭圆，$L=2c$ 是连接两定点的整条线段，$L<2c$ 无点。距离差的绝对值等于 $D$ 时：$0<D<2c$ 是双曲线，$D=0$ 是中垂线，$D=2c$ 是两条向外延伸且含焦点的射线，$D>2c$ 无点。这些边界来自三角不等式及其取等条件。

椭圆标准式中，较大的分母决定长轴方向；双曲线标准式中，正项决定实轴方向，不能凭分母大小决定。比如 $y^2/4-x^2/9=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，$a=2,b=3,c=\sqrt{13}$。

标准方程的几何性质与焦点三角形

设两不同定点 $F_1,F_2$ 的距离为 $2c>0$。

椭圆

标准式

的中心为原点，焦点 $(\pm c,0)$，长轴端点 $(\pm a,0)$，短轴端点 $(0,\pm b)$。长短轴长为 $2a,2b$，范围 $|x|\le a,|y|\le b$，关于两轴及原点对称。参数式 $x=a\cos t,y=b\sin t$，$0\le t<2\pi$；$t$ 一般不是位置向量的极角。离心率 $e=c/a\in(0,1)$；固定 $a$ 而令 $e\to0$ 时趋近半径 $a$ 的圆。焦点在 $y$ 轴上的形式为 $y^2/a^2+x^2/b^2=1$，全部坐标角色相换。

双曲线

标准式

的焦点为 $(\pm c,0)$，顶点 $(\pm a,0)$，实轴长 $2a$、虚轴长 $2b$，渐近线 $y=\pm(b/a)x$，范围 $|x|\ge a$。离心率 $e=c/a>1$；不能不固定尺度就说 $e\to1$ 曲线有某个唯一极限。固定 $a$、令 $b\to0$ 时趋向实轴外侧两射线。参数式 $x=a\sec t,y=b\tan t$，$\cos t\ne0$；两种余弦符号分别给两支。纵轴形式 $y^2/a^2-x^2/b^2=1$，渐近线为 $y=\pm(a/b)x$。

等轴双曲线 $a=b$ 的渐近线互相垂直；$x^2/a^2-y^2/b^2=\lambda$（$\lambda\ne0$）共渐近线。右端分别为 $1,-1$ 的两双曲线互为共轭，实、虚轴方向交换。

焦点三角形

$P$ 不在焦轴上，令 $u=PF_1,v=PF_2,\theta=\angle F_1PF_2\in(0,\pi)$。余弦定理为 $4c^2=u^2+v^2-2uv\cos\theta$，面积 $S=uv\sin\theta/2$。

• 椭圆用 $u+v=2a$，得 $uv=2b^2/(1+\cos\theta)$，故 $S=b^2\tan(\theta/2)$。
• 双曲线用 $(u-v)^2=4a^2$，得 $uv=2b^2/(1-\cos\theta)$，故 $S=b^2\cot(\theta/2)$。具体 $u-v$ 的正负取决于所在支，不能两支都写成同一个正号。

上述推导也说明角与非共线条件不可省略。

抛物线的定义与四种方向

设定点 $F$ 不在定直线 $l$ 上。平面内到 $F$ 与 $l$ 距离相等的点的轨迹叫抛物线，$F$ 为焦点，$l$ 为准线。设焦点到准线的距离为 $p>0$，取焦点在坐标轴上、顶点在原点，可得到：

它只有一条对称轴，顶点到焦点的距离为 $p/2$，离心率为1。右开口方程的推导见下节；其余三式由关于坐标轴反射或交换坐标得到。使用 $y^2=4ax$ 的教材取 $p=2a$，参数名称不能直接混用。