导数中的参数、零点与恒成立

含参数问题应先找出哪些参数值会改变定义域、驻点个数或驻点所在区间。

参数问题的四种基本转换

设 $D$ 是非空定义域，参数为 $a$ 。先保持量词，再做变形。

分离参数：先看除数的符号

若目标为 $a\ge h(x)$ 对所有 $x\in D$ 成立，参数必须是 $h(D)$ 的上界；若最大值 $M$ 存在，等价于 $a\ge M$ 。若只有上确界 $M$ ，结论仍为 $a\ge M$ 。

严格不等式 $a>h(x)$ 的端点要另判：最大值 $M$ 取得时须 $a>M$ ；上确界 $M$ 不取得时允许 $a=M$ 。例如 $h(x)=x,D=(0,1)$ ，恒有 $a>x$ 的条件是 $a\ge1$ 。

“存在 $x$ 使 $a\ge h(x)$ ”则检查值域的下端：最小值 $m$ 取得时为 $a\ge m$ ；下确界 $m$ 不取得时为 $a>m$ 。其他方向可将不等式乘以 $-1$ 后处理。

若要除以 $g(x)$ 才能分离参数，先把 $g>0,g<0,g=0$ 的部分分开。零值处回到原式检查，负值处反转不等号。

必要条件探路，再证明充分性

从原不等式取特殊点、端点或极值点，可先限制参数范围。得到候选范围后必须回到整个 $D$ 证明；一个点成立不能推出全域成立。若利用参数单调性把问题归结到临界参数，还要说明参数系数在 $D$ 上的符号。

临界相切：候选参数不等于答案

当 $F_a(x)\ge0$ 的临界情形在内点 $x_0$ 取等，且对 $x$ 可导时，必要条件为

F_a(x_0)=0,\qquad \frac{\partial F_a}{\partial x}(x_0)=0.

这里偏导记号仅表示“把参数 $a$ 固定后对 $x$ 求导”。解这两个方程可找候选值，但还须排除其他区间的负值、端点失效和定义域变化。

零点个数：按单调区间逐段计数

求出全部驻点和不可导点，连同定义域端点分段；在每个连续且严格单调的区间内至多一个零点，再用端点值或单侧极限判定是否存在。分界点本身为零时只计一次。参数分类的临界值来自导数根的出现、消失、进入区间，以及极值跨过零。图形用于组织这些判断，存在性仍由连续性与介值性质支持。

端点取等时的导数必要条件

设 $a<b$ ， $f$ 在 $[a,b]$ 上有定义，在所论端点存在相应单侧导数。由差商符号直接得到：

已知在整个区间成立	必要条件
$f(x)\ge f(a)$	$f'_+(a)\ge0$
$f(x)\le f(a)$	$f'_+(a)\le0$
$f(x)\ge f(b)$	$f'_-(b)\le0$
$f(x)\le f(b)$	$f'_-(b)\ge0$

例如第一行中 $(f(a+h)-f(a))/h\ge0$ （ $h>0$ ），取极限即可；右端点用 $h<0$ ，符号随之反转。证明无需假设导函数连续。

若还具有相应二阶导数，且 $f(a)=f'(a)=0$ ，则 $f(x)\ge0$ 在右邻域成立要求 $f''(a)\ge0$ 。右端点 $f(b)=f'(b)=0$ 时也要求 $f''(b)\ge0$ ，不是 $\le0$ 。

二阶条件的证明。 假如 $f''(a)<0$ ，由二阶导数定义，右侧充分近的 $x$ 满足 $f'(x)/(x-a)<0$ ，故 $f'(x)<0$ ，中值定理给 $f(x)<f(a)=0$ ，矛盾。右端点同理：若 $f''(b)<0$ ，左侧 $f'(x)>0$ ，故 $f(x)<f(b)=0$ 。

这些通常只是必要条件。例如 $f(x)=-x^4$ 在 $0$ 处前两阶导数都为零，却在右侧为负。若另知 $f$ 严格凸且左端点的右导数 $f'_+(a)\ge0$ ，才可由切线支撑性质得到右侧严格大于端点值。

例：一条切线控制全域

求使 $\ln x\le ax-1$ 对所有 $x>0$ 成立的实数 $a$ 。

取 $x=1$ 得必要条件 $a\ge1$ 。令 $g(x)=x-1-\ln x$ ，则 $g'(x)=1-1/x$ ，在 $(0,1)$ 为负，在 $(1,+\infty)$ 为正，所以 $g(x)\ge g(1)=0$ 。当 $a\ge1$ 时， $ax-1\ge x-1\ge\ln x$ ，故条件也充分。答案为 $a\ge1$ 。

例：零点不能只看驻点

$f(x)=x^3-3x+a$ 的驻点恒为 $-1,1$ ，函数值为 $a+2,a-2$ 。结合三个单调区间与两端变化趋势， $|a|<2$ 时有三个不同实根； $|a|=2$ 时有两个不同实根（一个重根）； $|a|>2$ 时有一个实根。

参数改变临界点时如何完整分类

研究 $f_a(x)=x^3-3ax$ 在 $[0,2]$ 上的最值。导数为 $3(x^2-a)$ 。

$a\le0$ ：函数递增，最小值 $0$ ，最大值 $8-6a$ 。
$0<a<4$ ：临界点 $\sqrt a$ 在区间内部，先减后增，最小值为 $-2a^{3/2}$ ；最大值比较 $f_a(0)=0$ 与 $f_a(2)=8-6a$ 。
$a\ge4$ ：函数递减，最小值 $8-6a$ ，最大值 $0$ 。

因此中间一段的最大值在 $0<a<4/3$ 时为 $8-6a$ ，在 $a=4/3$ 时两端点同时取最大值 $0$ ，在 $4/3<a<4$ 时为 $0$ 。分类点既可能来自临界点进入或离开区间，也可能来自两个候选函数值相等。

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先修：用导数研究单调性、极值与最值 · 函数零点、交点与参数 · 量词、否定与参数中的存在性。

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