分式、根式与等价变形

代数式的定义域是运算的一部分。化简后的式子可能在更多点有定义，但这不能自动扩展原式的定义域。

分式的四则运算与定义域

分式的分母必须非零。对 $B,D\ne0$ ，有

\frac AB\pm\frac CD=\frac{AD\pm BC}{BD},\qquad \frac AB\cdot\frac CD=\frac{AC}{BD}.

若还要求 $C\ne0$ ，则

\frac AB\div\frac CD=\frac{AD}{BC}.

除以一个分式时，该分式本身必须有定义且非零。

约分

\frac{AB}{AC}=\frac BC

要求 $A\ne0,C\ne0$ 。右边在 $A=0$ 时可能仍有意义，但那是另一个定义域上的表达式，不能据此给原式新增取值。去分母解方程同样要保留所有分母非零条件。

算术平方根及其运算

对 $a\ge0$ ， $\sqrt a$ 是满足 $x^2=a$ 的唯一非负实数。因此 $\sqrt a\ge0$ ，且 $(\sqrt a)^2=a$ ；反过来，对任意实数 $x$ ，

\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert.

基本法则为

\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\quad(a,b\ge0),

\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\quad(a\ge0,b>0).

证明。 每式右边都非负，且平方后等于左边根号中的量，因算术平方根唯一，得到等式。若 $a,b$ 同为负数，虽然 $ab>0$ ，右边两个实平方根却都没有定义，不能使用第一式。

共轭根式与有理化

利用平方差

(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b,

当 $a,b\ge0$ 且 $a\ne b$ 时，

\frac1{\sqrt a-\sqrt b}=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b},\qquad \frac1{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}.

第二个原分式在 $a=b>0$ 时也有意义，但这一有理化写法的右侧没有意义，此时应直接算为 $1/(2\sqrt a)$ 。

对实数 $u,v$ 和 $d\ge0$ ，更一般地有

(u+v\sqrt d)(u-v\sqrt d)=u^2-v^2d.

当右侧非零时，可用共轭因子将分母有理化。降重根号的配方与符号选择见二次根式。

例：平方产生的候选根

解 $\sqrt{x+2}=x$ 。左侧非负，所以先限定 $x\ge0$ 。平方得 $x+2=x^2$ ，候选为 $x=2,-1$ 。只有 $2$ 满足原条件，故解集为 $\{2\}$ 。

解 $\frac{x^2-1}{x-1}=2$ 时，原式要求 $x\ne1$ ，化简得 $x+1=2$ 只产生被排除的 $x=1$ ，所以无解。

易错点

平方在两侧同为非负时可逆；去分母须保留分母非零条件；乘除含未知数的式子可能遗漏其为零的分支。绝对值应按符号分段，不能直接删除。

关联阅读

二次根式与降重根号。

先修：代数运算、恒等式与因式分解。

同主题：代数运算、恒等式与因式分解 · 指数与对数的运算。