四面体内外接球与特殊模型

以下四面体均非退化，即四顶点不共面。球心的位置由等距条件确定；外接球球心可能在四面体外部，不能预设在内部。

外接球的存在唯一性

取一个顶点为原点，其余位置向量为 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ 。球心位置 $\mathbf o$ 满足到四点等距，展开距离平方得

2\mathbf o\cdot\mathbf a=|\mathbf a|^2,\quad2\mathbf o\cdot\mathbf b=|\mathbf b|^2,\quad2\mathbf o\cdot\mathbf c=|\mathbf c|^2.

四面体非退化，三方向不共面，这组三元一次方程唯一可解。半径为 $|\mathbf o|$ 。这也给通用求球心方法，无需先猜球心所在位置。

内切球半径与面积权重

设四个面面积为 $S_A,S_B,S_C,S_D$ ，总体积为 $V$ ，总面积为 $S$ 。用正权重定义内部点

I=\frac{S_AA+S_BB+S_CC+S_DD}{S}.

该表达式表示位置向量的加权平均。点 $I$ 到面 $BCD$ 的距离为 $(S_A/S)$ 乘以顶点 $A$ 到该面的高，即 $3V/S$ ；其他三面同理。因此内切球半径为 $r=3V/S$ 。

内部任一点到四面的距离若都为 $r$ ，将四面体分成以它为顶点的四个小锥，必有 $V=rS/3$ ，且四个体积比例唯一确定该点的面积权重，所以内切球唯一。球位于四个内侧半空间中，故与各面平面的切点也落在相应三角形面上。

三条棱两两垂直的四面体

取顶点 $O=(0,0,0)$ 、 $A=(a,0,0),B=(0,b,0),C=(0,0,c)$ ， $a,b,c>0$ 。外接球心为 $(a/2,b/2,c/2)$ ，

R=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}2,\qquad V=\frac{abc}{6}.

三个直角面的面积之和为 $(ab+bc+ca)/2$ ，第四面面积为 $\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}/2$ ，可由三角形两边向量的数量积求得。因此

r=\frac{abc}{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}.

例如 $a=b=c=1$ 时 $R=\sqrt3/2$ ， $r=1/(3+\sqrt3)$ 。

对棱相等模型

取 $u,v,w>0$ ，令四个顶点为

(u,v,w),\ (u,-v,-w),\ (-u,v,-w),\ (-u,-v,w).

三组对棱分别相等，公共长度记为 $a,b,c$ ，则

a^2=4(v^2+w^2),\quad b^2=4(u^2+w^2),\quad c^2=4(u^2+v^2).

因此 $R^2=u^2+v^2+w^2=(a^2+b^2+c^2)/8$ ， $V=8uvw/3$ 。四个面全等，若单面面积为 $T$ ，则 $r=3V/(4T)$ 。

反过来，给定 $a,b,c$ ，只有 $b^2+c^2>a^2$ 及循环的三条严格不等式全部成立，才可令 $u^2=(b^2+c^2-a^2)/8$ 等构成这个非退化模型。对应公共面必须是锐角三角形；仅满足普通三角形不等式还不够。任一非退化对棱相等四面体都可用此模型表示。以重心为原点，将四顶点写成

A=\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w,\quad B=\mathbf u-\mathbf v-\mathbf w,\quad C=-\mathbf u+\mathbf v-\mathbf w,\quad D=-\mathbf u-\mathbf v+\mathbf w.

这是一般的表示：例如 $\mathbf u=(A+B)/2$ ，另外两项同理，利用 $A+B+C+D=0$ 可还原各顶点。 $AB=CD$ 给出 $|\mathbf v+\mathbf w|^2=|\mathbf v-\mathbf w|^2$ ，因此 $\mathbf v\cdot\mathbf w=0$ ；另外两组对棱相等给出其余两个数量积也为零。非退化保证这三个向量均非零，故沿它们建直角坐标系，就得到所列模型。

四面体重心与对棱中点

四顶点位置向量为 $A,B,C,D$ ，令

G=\frac{A+B+C+D}{4}.

对棱 $AB,CD$ 的中点分别为 $M=(A+B)/2,N=(C+D)/2$ ，故 $G=(M+N)/2$ 。其余两组对棱也一样，因此三条对棱中点连线相交于 $G$ ，且彼此平分。

面 $BCD$ 的重心为 $T=(B+C+D)/3$ ，于是 $G=A/4+3T/4$ ，故 $AG:GT=3:1$ 。另外三个顶点到对面重心的线段也经过 $G$ 。这是几何重心的位置结论；一般四面体的重心、内心和外心并不重合。

对棱相等模型的球心、高与中线

沿用 $(\pm u,\pm v,\pm w)$ 的四点模型。四顶点到原点的距离相同，重心又是原点；四面全等，面积权重相同，所以内心也为原点。因此内心、外心、重心重合。

四条高都为 $h=3V/T=4r$ ；顶点到对面重心的中线长都为 $4R/3$ 。三条对棱中点连线分别沿三个坐标轴，长度为 $2u,2v,2w$ ，彼此平分且两两垂直，并分别垂直于对应的一对棱。

设 $K^2=(a^2+b^2+c^2)/2$ ，则 $2u=\sqrt{K^2-a^2}$ ，循环式同理，从而

V=\frac13\sqrt{(K^2-a^2)(K^2-b^2)(K^2-c^2)}.

这些结论要求确实是非退化的对棱相等四面体，不能移用于任意三棱锥。

直角四面体的面积关系和六棱和最值

直角四面体 $OABC$ 中 $OA=a,OB=b,OC=c>0$ 且两两垂直。记三个直角面的面积为 $S_1,S_2,S_3$ ，对面面积为 $S_0$ ，则

S_0^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2.

这由第四面面积的坐标表达式立即得到。对面 $ABC$ 必为锐角三角形，例如 $AB^2+AC^2-BC^2=2a^2>0$ ，另两角同理。

若六条棱的总长固定为 $L$ ，由 $\sqrt{a^2+b^2}\ge(a+b)/\sqrt2$ 及循环式，

L\ge(1+\sqrt2)(a+b+c),\qquad V=\frac{abc}{6}\le\frac{(a+b+c)^3}{162}\le\frac{L^3}{162(1+\sqrt2)^3}.

当且仅当 $a=b=c=L/[3(1+\sqrt2)]$ 取等。这里的模型是三条出发棱相等的直角四面体，不是正四面体。

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