实数、绝对值与数轴距离

实数包括有理数和无理数，可用数轴上的点表示。高中代数通常默认变量在实数中取值，除非另行规定整数或复数范围。

定义与比较

有理数能写成整数之比 $p/q$ （ $q\ne0$ ），无理数不能。有限小数与无限循环小数为有理数；无限不循环小数为无理数。

$|x|=x$ （ $x\ge0$ ）， $|x|=-x$ （ $x<0$ ）。数轴两点 $a,b$ 的距离为 $|a-b|$ 。有 $|xy|=|x||y|$ ， $|x/y|=|x|/|y|$ （ $y\ne0$ ）。

三角不等式、反三角不等式与等号

对任意实数 $a,b$ ，同时有

\bigl||a|-|b|\bigr|\le |a+b|\le|a|+|b|,

\bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b|\le|a|+|b|.

右侧称为三角不等式，左侧常称反三角不等式。取等条件分别为

表达式	达到上界 $\lvert a\rvert+\lvert b\rvert$	达到下界 $\bigl\lvert\lvert a\rvert-\lvert b\rvert\bigr\rvert$
$\lvert a+b\rvert$	$ab\ge0$	$ab\le0$
$\lvert a-b\rvert$	$ab\le0$	$ab\ge0$

其中任一数为零时，两种界相等，四个等式均成立。

上界证明。 两边都非负，平方差为

(|a|+|b|)^2-|a+b|^2=2(|ab|-ab)\ge0.

等号恰在 $ab\ge0$ 。把 $b$ 换成 $-b$ 就得到差的上界及取等条件。

下界证明。 由 $a=(a+b)-b$ 得 $|a|-|b|\le|a+b|$ ；交换 $a,b$ 再得 $|b|-|a|\le|a+b|$ ，两式合并为和的下界。比较平方，

|a+b|^2-(|a|-|b|)^2=2(ab+|ab|),

故取等恰在 $ab\le0$ 。仍把 $b$ 换成 $-b$ ，得到差的下界及其取等条件。

例

$|x-2|\le3$ 表示距 $2$ 不超过 $3$ ，故 $x\in[-1,5]$ 。若 $|x-2|+|x+1|=3$ ，三角不等式给出下界 $|(x+1)-(x-2)|=3$ ，取等恰在 $x\in[-1,2]$ 。

易错点

两个无理数的和或积可能有理，如 $\sqrt2+(-\sqrt2)=0$ 、 $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$ 。不能从数的类别机械推出运算结果的类别。

加减绝对值与取大取小

对任意实数 $a,b$ ，

|a|+|b|=\max\{|a+b|,|a-b|\},

\bigl||a|-|b|\bigr|=\min\{|a+b|,|a-b|\}.

证明。 $ab\ge0$ 时， $|a+b|=|a|+|b|$ ， $|a-b|=\bigl||a|-|b|\bigr|$ ； $ab<0$ 时两个结果交换。因为和总不小于非负差的绝对值，两式都成立。

两个绝对值之差

定义符号函数 $\operatorname{sgn}x$ ：正数取 $1$ ，负数取 $-1$ ，零取 $0$ 。对任意实数 $a,b$ ，

|a+b|-|a-b|=2\operatorname{sgn}(a)\operatorname{sgn}(b)\min\{|a|,|b|\}.

若至少一个数为零，两边均为零。其余情形中，同号时左侧为 $|a|+|b|-\bigl||a|-|b|\bigr|=2\min\{|a|,|b|\}$ ；异号时交换这两个绝对值，符号反向。

与 $\min\{u,v\}=(u+v-|u-v|)/2$ 联用，可在分段函数、距离和式中把“取较小者”改写成绝对值。

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有理性与无理性证明。

同主题：代数运算、恒等式与因式分解。