空间向量、角与距离

线线角、线面角与正射影

方向向量为非零 $\mathbf u,\mathbf v$ 的两条直线，将其中一条平移至与另一条相交，再取不超过直角的夹角 $\theta$，有

这是向量夹角公式在直线无定向时的写法：更换一个方向向量会使向量夹角变为补角，而绝对值使直线夹角不变。异面直线不平行，故 $\theta\in(0,\pi/2]$；平行或重合直线的夹角为零。

线面角的定义与计算

设直线方向为 $\mathbf u\ne0$，平面法向量为 $\mathbf n\ne0$，记单位法向量 $\mathbf e=\mathbf n/|\mathbf n|$。将方向分解为

两分量互相垂直；前者平行于平面，后者垂直于平面。斜线的正射影方向就是 $\mathbf u_\parallel$。直线与射影直线的较小夹角称为线面角 $\alpha$，由这个直角分解得

垂直于平面时射影缩为一点，按定义取 $\alpha=\pi/2$；平行于平面或在平面内时取 $\alpha=0$。公式涵盖这两种边界。

线面角也是该直线与平面内所有直线夹角中的最小值。任取平面内单位方向 $\mathbf v$，有

所以对应夹角的余弦不大于 $|\mathbf u_\parallel|/|\mathbf u|=\cos\alpha$，角度便不小于 $\alpha$。斜线情形在 $\mathbf v$ 沿射影方向时取等。

点线距离与点面距离

点 $P$ 到过 $Q$、方向为 $\mathbf u\ne0$ 的直线的距离，是 $\overrightarrow{QP}$ 垂直于 $\mathbf u$ 的分量长度：

根号内非负由柯西不等式保证；垂直分解及勾股定理给出该式。若投影参数有线段端点限制，算得的是到整条直线的距离，还须检查垂足是否在线段内。

点 $P$ 到平面的距离，取平面内任意点 $Q$ 后为

证明：将位移分解成面内与法向两个分量，法向分量恰是垂线段；更换平面内的 $Q$ 只改变面内分量。特别地，平面 $Ax+By+Cz+D=0$、$A^2+B^2+C^2>0$ 与点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的距离为

线面平行时，沿直线移动不改变法向分量，因此线上各点到平面的距离相等；面面平行时同理。故这两种距离都可以转化为点面距离。

二面角的定义与三种平面角构造

二面角由公共棱 $l$ 及从它出发的两个指定半平面组成。在棱上一点 $O$，分别于两个半平面内取垂直于 $l$ 的射线 $OA,OB$，则 $\angle AOB$ 是二面角的平面角。射线必须朝向指定半平面，不能只取任意两条无定向直线。

换一个棱上点作相同构造，两对射线分别平行且同向，夹角不变，所以定义与所选 $O$ 无关。平面角为 $\pi/2$ 时称直二面角，两个面互相垂直。

如何构造可计算的平面角

定义法。 在棱上选便于计算的一点，在两个面内分别作棱的垂线，再用勾股定理、余弦定理等求两条射线的夹角。等腰面中的底边中点常能同时给出两条垂线。

垂面法。 过棱上一点作垂直于棱的平面。该截平面与两个半平面的交射线都垂直于棱，其夹角就是所求平面角。此法把整个空间问题转为一个平面截形。

三垂线法。 在第一个面内取棱外点 $P$，作 $PH\perp$ 第二个面，再在第二个面内作 $HO\perp l$，$O\in l$。因为 $PH\perp l$，由三垂线关系得 $PO\perp l$，故 $OP$ 与第二个面内垂直于棱、指向指定半平面的射线构成平面角。若 $H$ 落在指定半平面的反侧，$\angle POH$ 应取补角；若 $H=O$，两面垂直，另在第二个半平面取垂棱射线即可。

用法向量时保留角的方向

两个整平面的较小夹角 $\varphi\in[0,\pi/2]$ 满足

原因是垂直公共棱的截平面内，两个法向量分别垂直于两条交线；同时转动两条方向 $90^\circ$ 保持它们的夹角，而任意法向选择可能反向。绝对值只确定较小夹角。指定二面角可能为 $\varphi$ 或 $\pi-\varphi$，应由两个半平面的方向判定。