取整函数的恒等式与估计

基本定义见先修文章。这里把取整作为实函数处理，说明平移、求和与除法的精确关系。它出现在数论讲义中，不影响这些内容归入函数主题。

用整数与小数部分拆分

设 $x=m+u,y=n+v$ ，其中 $m,n\in\mathbb Z$ ， $u,v\in[0,1)$ 。于是

\lfloor x+y\rfloor=\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor u+v\rfloor.

最后一项只能为 $0$ 或 $1$ 。因此

\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\le\lfloor x+y\rfloor\le\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1.

左侧取等当且仅当 $u+v<1$ ；右侧取等当且仅当 $u+v\ge1$ 。同时 $\{x+y\}=u+v-\lfloor u+v\rfloor\le u+v$ 。

对任意正整数 $N$ 和实数 $x_i$ ，同理有

0\le\left\lfloor\sum_{i=1}^N x_i\right\rfloor-\sum_{i=1}^N\lfloor x_i\rfloor\le N-1.

这里不要求 $x_i$ 非负。将 $x_i=m_i+u_i$ 、 $0\le u_i<1$ 代入，还得到完整的多项形式

\left\{\sum_{i=1}^N x_i\right\}\le\sum_{i=1}^N\{x_i\}.

取整差为零，以及小数部分不等式取等，都表示没有进位，当且仅当 $\sum u_i<1$ ；取整差达到上界 $N-1$ 当且仅当 $N-1\le\sum u_i<N$ 。令各个 $x_i=x$ ，得

\lfloor Nx\rfloor\ge N\lfloor x\rfloor,\qquad \{Nx\}\le N\{x\}\qquad(N\in\mathbb N_+).

两式取等均等价于 $N\{x\}<1$ 。这组性质依赖 $N$ 为正整数。

整数平移与正整数除法

对整数 $k$ ， $\lfloor x+k\rfloor=\lfloor x\rfloor+k$ ， $\{x+k\}=\{x\}$ 。对正整数 $N$ ，

\left\lfloor\frac{x}{N}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor}{N}\right\rfloor.

证明：作整数除法 $\lfloor x\rfloor=Nq+r$ ， $0\le r<N$ 。则 $x/N=q+(r+\{x\})/N$ ，最后一项在 $[0,1)$ 内。

正整数条件不能改成“任意整数”： $N=0$ 无定义； $x=1/2,N=-1$ 时左侧为 $-1$ ，右侧为 $0$ 。

埃尔米特恒等式

对实数 $x$ 和正整数 $N$ ，

\sum_{k=0}^{N-1}\left\lfloor x+\frac{k}{N}\right\rfloor=\lfloor Nx\rfloor.

写 $x=m+u$ ， $m\in\mathbb Z,0\le u<1$ ，再写 $Nu=j+v$ ， $j\in\{0,\ldots,N-1\},0\le v<1$ 。每项的整数部分为 $m$ 或 $m+1$ ，后者恰好对应 $k=N-j,\ldots,N-1$ ，共 $j$ 项（ $j=0$ 时为空）。总和为 $Nm+j=\lfloor Nx\rfloor$ 。

例如 $N=4,x=-0.3$ ，四项为 $-1,-1,0,0$ ，和为 $-2=\lfloor-1.2\rfloor$ 。

第 n 个非平方正整数

把不是完全平方数的正整数依次排列，记第 $n$ 个为 $a_n$ ，其中 $n\ge1$ 。则

a_n=n+\left\lfloor\sqrt n+\frac12\right\rfloor.

证明：令 $k=\lfloor\sqrt n+1/2\rfloor$ 。由 $k-1/2\le\sqrt n<k+1/2$ ，结合 $n$ 为整数，得到 $k^2-k<n\le k^2+k$ 。因此

k^2<n+k<(k+1)^2.

在不超过 $n+k$ 的正整数中恰有 $k$ 个平方数，故非平方数恰有 $n$ 个，而且 $n+k$ 本身非平方，所以就是第 $n$ 项。例如 $n=6$ 给 $a_6=8$ ，前六个为 $2,3,5,6,7,8$ 。

按取整值相同的区间分组求和

求 $\sum_{k=1}^{100}\lfloor\sqrt k\rfloor$ 。整数值为 $j$ 的条件是 $j^2\le k<(j+1)^2$ ，通常有 $2j+1$ 项。这里 $j=1,\ldots,9$ 的组完整，最后 $j=10$ 只含 $k=100$ 。于是

\sum_{k=1}^{100}\lfloor\sqrt k\rfloor=\sum_{j=1}^9j(2j+1)+10=2\cdot285+45+10=625.

末组不能按完整组计算。若题目用的是向上取整 $\lceil\sqrt k\rceil$ ，应改成 $(j-1)^2<k\le j^2$ ，两端是否包含必须重写，不能沿用向下取整的分组。

关联阅读

分段、绝对值与取整函数。