正余弦定理与三角形度量

正弦定理、余弦定理与面积公式全表

设非退化三角形内角 $A,B,C\in(0,\pi)$，$A+B+C=\pi$，对边为 $a,b,c>0$，外接圆半径 $R$、面积 $\Delta$。有

圆中弦长为 $2R\sin A$：由圆心到弦的垂线将弦平分，用直角三角形得到；当所对内角为钝角，取互补角，正弦相同。三边轮换即得正弦定理。

证明第一式可取 $A=(0,0),B=(c,0),C=(b\cos A,b\sin A)$，计算 $BC^2$，用 $\sin^2A+\cos^2A=1$ 合并。其他两式交换顶点；右列是左列移项后除以正数，条件由非退化三角形保证。

前三式来自底乘对应高的一半，钝角时高可在边延长线上但仍为正弦给出的正长度；代入 $a=2R\sin A$ 等得到后两式。

射影定理与给定角和时的角度唯一性

设 $A,B,C$ 为非退化三角形内角，对边为 $a,b,c$。三条射影公式为

证明第一式。 由余弦定理，

另两式循环交换字母。即使三角形为钝角，这些式子仍成立；负余弦表示有向投影反向，不能擅自取绝对值。

另一个常用推论是：若 $\theta=A+B\in(0,\pi)$，且 $0<\alpha<\theta$，则

证明。 正弦定理给 $a/b=\sin A/\sin B$。交叉相乘，再用 $B=\theta-A$，有

展开两个差角正弦，左边化为 $\sin\theta\sin(A-\alpha)$。因 $\sin\theta>0$ 且 $|A-\alpha|<\pi$，只能 $A-\alpha=0$。

这里必须限定 $\alpha$ 的范围。若允许任意实角，$\alpha=A+2k\pi$ 也会满足原等式，不能断言 $\alpha=A$。

根据已知条件选择正弦或余弦定理

约定边 $a,b,c$ 分别对角 $A,B,C$，且 $A,B,C\in(0,\pi)$、$A+B+C=\pi$。

例如 $b=3,c=5,A=60^\circ$，得 $a^2=9+25-30\cos60^\circ=19$，故 $a=\sqrt{19}$，面积为 $S=15\sqrt3/4$。长度取正平方根。

两边及非夹角：SSA 的完整分类

已知 $A\in(0,\pi)$、$a,b>0$，其中 $a$ 对角 $A$，令 $h=b\sin A$。

• 当 $A$ 为锐角：$a<h$ 无解；$a=h$ 一解；$h<a<b$ 两解；$a\ge b$ 一解。
• 当 $A$ 为直角或钝角：必须 $a>b$ 才有一解，否则无解。

理由是正弦定理给出 $\sin B=b\sin A/a=h/a$。当它位于 $(0,1)$ 时，候选角为 $B_0$ 与 $\pi-B_0$，还须分别检验 $A+B<\pi$。后一条件排除了退化三角形，并解释了为什么不能只数反正弦给出的候选。

三角恒等式的边长、内外接圆表达

设半周长 $s=(a+b+c)/2$、内切圆半径 $r$、外接圆半径 $R$、面积 $\Delta$。原稿以 $p$ 表半周长，本手册统一为 $s$。

证明中用高中三角形基本面积式 $\Delta=rs=abc/(4R)$ 及海伦公式 $\Delta^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$。正弦定理立刻给出第一式；$\sum a\cos A=R\sum\sin2A=4R\prod\sin A=2\Delta/R$ 给出第二式。

余弦定理与半角公式给出

所有半角都在 $(0,\pi/2)$，根号取正。轮换三式相乘，结合海伦公式，得到

两式相除给半角正切乘积；第二式边长加权和除以 $2s$、以及三角形余弦和恒等式，分别得到最后两式。

从边角度量转向内角恒等式

解三角形时，正弦定理、余弦定理和面积公式把边长与角联系起来。若待处理式只含三个内角的三角函数，则应先利用 $A+B+C=\pi$，把 $A+B$ 改为 $\pi-C$，或把 $(A+B)/2$ 改为 $\pi/2-C/2$，再使用和差化积、倍角公式。

完整公式族及逐步证明集中在三角形内角恒等式：包括正弦和与乘积、余弦和与乘积、二倍角和、混合乘积、正切和余切、三个半角以及三个角之和为直角时的关系。平方和恒等式说明平方和与余弦乘积如何相互转换。

选择公式时应先看目标结构。例如要把正弦和化成便于估计的乘积，可使用三个半角余弦的乘积；要处理三个余弦平方之和，可转成 $1-2\cos A\cos B\cos C$。涉及正切须先排除直角，涉及半角正切、余切则对所有非退化三角形都有定义。由恒等式进一步求界及等号条件，见三角形中的常用不等式。