函数、定义域与值域

函数规定每个输入唯一对应一个输出。实际问题中的定义域由对象决定，并不总是解析式有意义的最大集合。

映射、单射、满射、双射与函数

映射 $f:A\to B$ 要为每个 $x\in A$ 指定唯一的 $f(x)\in B$ 。允许两个不同输入得到同一输出，也允许 $B$ 中有元素没有原像。 $A$ 是定义域， $B$ 是陪域，实际像集为 $f(A)=\{f(x):x\in A\}\subseteq B$ 。

名称	完整条件	检查方式
单射	$x_1,x_2\in A$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$ 时必有 $x_1=x_2$	排除不同输入得到同一输出
满射	任意 $y\in B$ 都有至少一个 $x\in A$ 使 $f(x)=y$	验证 $f(A)=B$
双射（一一映射）	同时为单射和满射	每个 $y\in B$ 恰有一个原像

例如 $f(x)=2x-1$ 从整数集到奇数集是双射：相等输出推出相等输入；对奇数 $y$ ， $x=(y+1)/2$ 是整数原像。

双射存在唯一逆映射 $f^{-1}:B\to A$ ，满足两条恒等关系

f^{-1}(f(x))=x\quad(x\in A),\qquad f(f^{-1}(y))=y\quad(y\in B).

因为每个 $y$ 的原像存在且唯一，逆映射才有定义。仅知某个 $g$ 满足 $g\circ f=\operatorname{id}_A$ ，一般只保证 $f$ 是单射，不能在未证明满射时就称 $g$ 为其双侧逆。

高中实函数是非空实数集之间的映射。定义域、对应法则决定实际输入输出，值域为 $f(A)$ ；若把函数视为带陪域的映射，陪域也须一并说明，因为满射与否依赖它。图像是点集 $\{(x,f(x)):x\in A\}$ ，不是只含输出值的集合。函数常用列表法、解析式法和图像法表示；列表必须说明它是否穷尽全部输入，图像中的空心端点、断点也决定哪些输入与输出被包含。

对有限集，双射推出 $|A|=|B|$ ；反之，元素数相同只保证存在某个双射，不保证指定的 $f$ 就是双射。不同函数可以有相同定义域和值域。

自然定义域的限制要同时成立

一个解析式由多种运算组成时，每一步都必须有意义，最终定义域是各项限制的交集。

运算	实数范围内的限制
$1/g(x)$	$g(x)\ne0$
$\sqrt{g(x)}$	$g(x)\ge0$
$1/\sqrt{g(x)}$	$g(x)>0$
$\log_{a(x)}g(x)$	$a(x)>0$ 、 $a(x)\ne1$ 、 $g(x)>0$
$\tan g(x)$	$g(x)\ne\pi/2+k\pi$ ， $k\in\mathbb Z$

一般实指数幂 $a^x$ 取 $a>0$ ；其中 $a=1$ 的表达式仍有意义，只是通常定义“指数函数”时排除常函数 $1^x$ 。不能把函数类别的定义限制误当成每个表达式都有的运算限制。

例如 $f(x)=\sqrt{x+2}/\log_2(x-1)$ 要同时满足 $x\ge-2$ 、 $x>1$ 、 $x\ne2$ ，故定义域为 $(1,2)\cup(2,+\infty)$ 。

值域与解析式的求法

值域是全部能实际取得的函数值组成的集合。证明 $f(x)\in J$ 只给出值域包含于 $J$ ；要断言值域恰为 $J$ ，还须证明每个 $y\in J$ 都有合法原像。

常用方法及其适用条件如下：

直接观察或配方： 二次式可写成平方加常数；随后检查顶点是否属于原定义域。
换元： 令 $t=g(x)$ 后，先求 $t$ 的实际范围，再研究外层函数。未经证明不能把 $t$ 当作任意实数。
单调性： 在各单调区间求像集，并检查端点是否取到；定义域不连通时分别求像后取并。
反解法： 由 $y=f(x)$ 解出 $x$ ，要求所得 $x$ 实数且属于原定义域。若变成二次方程，判别式非负之外，仍须检查分母、符号和输入范围。
连续性： 在连续区间中，结合已确定的最大最小值或边界极限，证明中间值都可取得；不连续函数不能直接作此推断。

由点值关系求解析式时，可用换元、配凑、待定系数或联立方程。所得结论只能覆盖条件实际涉及的输入：例如知道 $f(x^2)$ 对所有实数 $x$ 的表达式，只能确定 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上的值，不能自动确定负数输入。

例：先求定义域再求值域

$f(x)=\sqrt{4-x^2}$ 的自然定义域为 $[-2,2]$ 。因为 $0\le4-x^2\le4$ 且所有中间值都可取得，所以值域为 $[0,2]$ 。只证明 $0\le f(x)\le2$ 给出的是界，还须说明区间内的值确实都能取得：对 $y\in[0,2]$ ，取 $x=\sqrt{4-y^2}$ 即可。

例：复合函数的定义域不是内层值域

已知 $f$ 的定义域为 $[1,4]$ ，求 $g(x)=f(x^2-1)/\sqrt{3-x}$ 的定义域。

内层表达式必须落入 $f$ 的定义域，所以 $1\le x^2-1\le4$ ，即 $2\le x^2\le5$ ，给出

x\in[-\sqrt5,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,\sqrt5].

分母另要求 $x<3$ ，上述两段均满足。因此它们的并集就是定义域。答案是输入 $x$ 的集合，不能写成内层变量 $x^2-1$ 的范围 $[1,4]$ 。

例：由复合解析式恢复函数

若对 $x\ge0$ 有 $f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}$ ，令 $t=\sqrt{x}+1$ 。此时 $t\ge1$ ， $x=(t-1)^2$ ，故

f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1,\qquad t\ge1.

于是能确定 $f(u)=u^2-1$ 在 $[1,+\infty)$ 上成立。原条件没有给出 $u<1$ 时的信息，不能凭同一个式子擅自延伸函数。

易错点

$f(x)=x^2$ 作为 $\mathbb R\to\mathbb R$ 不是满射；作为 $\mathbb R\to[0,+\infty)$ 是满射，但仍不是单射。单射与满射不能只看公式而忽略集合。

关联阅读

先修：集合、数集与区间。

同主题：单调性、奇偶性、周期与对称。

映射、单射、满射、双射与函数

映射

f:A\to B

要为每个

x\in A

指定唯一的

f(x)\in B

。允许两个不同输入得到同一输出，也允许

B

中有元素没有原像。

A

是定义域，

B

是陪域，实际像集为

f(A)=\{f(x):x\in A\}\subseteq B

。

名称

完整条件

检查方式

单射

x_1,x_2\in A

且

f(x_1)=f(x_2)

时必有

x_1=x_2

排除不同输入得到同一输出

满射

任意

y\in B

都有至少一个

x\in A

使

f(x)=y

验证

f(A)=B

双射（一一映射）

同时为单射和满射

每个

y\in B

恰有一个原像

例如

f(x)=2x-1

从整数集到奇数集是双射：相等输出推出相等输入；对奇数

y

，

x=(y+1)/2

是整数原像。

双射存在唯一逆映射

f^{-1}:B\to A

，满足两条恒等关系

f^{-1}(f(x))=x\quad(x\in A),\qquad f(f^{-1}(y))=y\quad(y\in B).

因为每个

y

的原像存在且唯一，逆映射才有定义。仅知某个

g

满足

g\circ f=\operatorname{id}_A

，一般只保证

f

是单射，不能在未证明满射时就称

g

为其双侧逆。

高中实函数是非空实数集之间的映射。定义域、对应法则决定实际输入输出，值域为

f(A)

；若把函数视为带陪域的映射，陪域也须一并说明，因为满射与否依赖它。图像是点集

\{(x,f(x)):x\in A\}

，不是只含输出值的集合。函数常用列表法、解析式法和图像法表示；列表必须说明它是否穷尽全部输入，图像中的空心端点、断点也决定哪些输入与输出被包含。

对有限集，双射推出

|A|=|B|

；反之，元素数相同只保证存在某个双射，不保证指定的

f

就是双射。不同函数可以有相同定义域和值域。

自然定义域的限制要同时成立

一个解析式由多种运算组成时，每一步都必须有意义，最终定义域是各项限制的交集。

运算

实数范围内的限制

1/g(x)

g(x)\ne0

\sqrt{g(x)}

g(x)\ge0

1/\sqrt{g(x)}

g(x)>0

\log_{a(x)}g(x)

a(x)>0

、

a(x)\ne1

、

g(x)>0

\tan g(x)

g(x)\ne\pi/2+k\pi

，

k\in\mathbb Z

一般实指数幂

a^x

取

a>0

；其中

a=1

的表达式仍有意义，只是通常定义“指数函数”时排除常函数

1^x

。不能把函数类别的定义限制误当成每个表达式都有的运算限制。

例如

f(x)=\sqrt{x+2}/\log_2(x-1)

要同时满足

x\ge-2

、

x>1

、

x\ne2

，故定义域为

(1,2)\cup(2,+\infty)

。

值域与解析式的求法

值域是全部能实际取得的函数值组成的集合。证明

f(x)\in J

只给出值域包含于

J

；要断言值域恰为

J

，还须证明每个

y\in J

都有合法原像。

常用方法及其适用条件如下：

直接观察或配方： 二次式可写成平方加常数；随后检查顶点是否属于原定义域。

换元： 令

t=g(x)

后，先求

t

的实际范围，再研究外层函数。未经证明不能把

t

当作任意实数。

单调性： 在各单调区间求像集，并检查端点是否取到；定义域不连通时分别求像后取并。

反解法： 由

y=f(x)

解出

x

，要求所得

x

实数且属于原定义域。若变成二次方程，判别式非负之外，仍须检查分母、符号和输入范围。

连续性： 在连续区间中，结合已确定的最大最小值或边界极限，证明中间值都可取得；不连续函数不能直接作此推断。

由点值关系求解析式时，可用换元、配凑、待定系数或联立方程。所得结论只能覆盖条件实际涉及的输入：例如知道

f(x^2)

对所有实数

x

的表达式，只能确定

f

在

[0,+\infty)

上的值，不能自动确定负数输入。