数量积、夹角与投影

数量积、夹角与投影

设 $\mathbf a,\mathbf b$ 是非零向量，将它们平移到同一起点，取两方向之间 $[0,\pi]$ 内的角 $\theta$ 为向量夹角。定义它们的数量积为实数

若有一个向量为零，规定数量积为零。数量积的结果是数，不能当作新的向量；零向量参与数量积有意义，但不能因此给它定义唯一夹角。

在正交单位基底下，若 $\mathbf a=(x_1,y_1),\mathbf b=(x_2,y_2)$，则

由余弦定理（共线时直接比较长度），

将三个长度平方用直角坐标表示并展开，便得到上述坐标公式。这个证明先建立坐标公式，再用它验证下面的分配律，避免互相依赖。非正交基底的两个系数不能直接这样相乘相加。

运算规则

前三式也可用坐标逐项展开验证。对非零向量，数量积为正、零、负分别对应 $0\le\theta<\pi/2$、$\theta=\pi/2$、$\pi/2<\theta\le\pi$。求夹角时，

投影数量与投影向量

沿非零向量 $\mathbf b$ 指定正方向。$\mathbf a$ 在这个方向上的投影数量为

它是有符号的实数，反向投影可为负。将它乘以单位方向向量 $\mathbf b/|\mathbf b|$，得到投影向量

投影线段的长度是投影数量的绝对值。这三个对象分别是有符号数、向量和非负长度，不应混称。

数量积与长度不等式

对任意平面向量 $\mathbf a,\mathbf b$，有

证明与等号。 两向量非零时，由数量积定义及 $|\cos\theta|\le1$ 得到；等号等价于夹角为 $0$ 或 $\pi$，即共线。任一个为零时两边都为零。

代入长度平方展开式，得到

以上各边均非负，因此先比较平方再开平方是等价操作。加号上界取等，当且仅当两非零向量同向或有零向量；加号下界取等，当且仅当两非零向量反向或有零向量。减号的两个等号条件互换。

对任意有限个向量，反复使用两向量的三角不等式得

等号当且仅当所有非零向量同向，或全为零。要核对必要性，可展开两边的平方：差为 $2\sum_{i<j}(|\mathbf a_i||\mathbf a_j|-\mathbf a_i\cdot\mathbf a_j)$，每项非负，和为零要求每一对非零向量同向。高维坐标中的对应数量积估计见柯西不等式。

用数量积识别动点圆并保留退化情形

设 $A,B$ 为不同定点，$M$ 为中点。由 $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}$、$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{MA}$，得到

所以条件 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=c$ 化为 $PM^2=c+AB^2/4$。右端为正时是圆，为零时只有点 $M$，为负时无点满足。只有 $c=0$ 时它才是以 $AB$ 为直径的圆；若还要求夹角有定义，应排除 $P=A,B$。