弧度、单位圆与基本三角函数

任意角、弧度与六种三角函数的定义和符号

角由射线绕端点旋转形成，逆时针为正、顺时针为负；通常始边放在 $x$ 轴正半轴。终边在某象限内部才称该象限角，坐标轴上的角不是象限角。同终边角为 $\alpha+2k\pi$，$k\in\mathbb Z$，角度制下为 $\alpha+360^\circ k$。

弧度定义为圆弧长与半径之比；一周 $2\pi$ 弧度等于 $360^\circ$，故 $1^\circ=\pi/180$ 弧度、$1$ 弧度为 $180^\circ/\pi$。半径 $r$、非负圆心角 $\theta$ 对应的弧长 $l=r\theta$，扇形面积 $S=r^2\theta/2$，这里 $\theta$ 必须用弧度。

设终边上一点 $(x,y)\ne(0,0)$，$r=\sqrt{x^2+y^2}>0$。六种定义为

正切、正割要求 $x\ne0$，余切、余割要求 $y\ne0$。同一射线上的点按正比例缩放，比例不变，所以定义与点的选取无关。旧符号 $\mathrm{tg},\mathrm{ctg}$ 分别指 $\tan,\cot$。

各象限符号直接来自 $x,y$ 符号和 $r>0$，轴上的值另由坐标定义，不宜只用象限口诀。

同角关系及其各自的定义条件见同角关系表。

用单位圆理解六种三角函数

在六种三角函数的定义中，把终边上的点取在单位圆上，便有 $r=1$。因此这个点的横坐标是 $\cos\alpha$，纵坐标是 $\sin\alpha$。图中从点向两坐标轴作的垂线段表示相应坐标的绝对值；在负半轴方向，坐标本身带负号。

正切 $\tan\alpha=y/x$ 是终边所在直线的斜率，要求 $x\ne0$。当终边在 $y$ 轴方向时，斜率不存在，正切也无定义。这里同终边角相差整周，而互为反向的射线相差半周：两者斜率相同，所以正切的周期比正弦、余弦的周期短一半。

单位圆提供了定义、符号和对称性的统一解释；具体诱导公式及证明集中在诱导公式表。

同角关系：商、倒数、乘积与平方

以下各式分别在所列非零条件下成立。

证明。 商、倒数和乘积关系直接代入终边坐标定义。例如 $(y/r)/(x/r)=y/x$，要求 $x\ne0$；而 $(y/x)(x/y)=1$ 还要求 $y\ne0$。由 $x^2+y^2=r^2$ 除以 $r^2>0$ 得到第一条平方关系，再分别除以非零的余弦平方、正弦平方得到后两条。

常用派生式还有

前两式展开平方后用同角平方关系，第三式相加得到。它们适合把“正余弦和”与“正余弦积”相互转换。

正余弦的范围与基本估计

单位圆上任一点的横纵坐标都在 $[-1,1]$ 内，圆上相应的点又能实现每个中间坐标，所以正弦、余弦的值域均为 $[-1,1]$。

对任意实数 $x$，

证明。 记 $s=|\sin x|,c=|\cos x|$，则 $s,c\ge0$，$s^2+c^2=1$。因此 $(s+c)^2=1+2sc\ge1$，又由 $(s-c)^2\ge0$ 得 $2sc\le1$，所以 $(s+c)^2\le2$。两侧开非负平方根，得到结论。

下界等号当且仅当 $sc=0$，即 $x=k\pi/2$；上界等号当且仅当 $s=c$，即 $x=\pi/4+k\pi/2$。若 $0<x<\pi/2$，正余弦都为正，便得到

右侧等号当且仅当 $x=\pi/4$。这条不等式与下节使用弧度的 $\sin x<x<\tan x$ 不同：本条比较的是三角函数值，证明不涉及弧长。

六种函数的完整单调区间、周期和对称性见三角函数图像性质。