列联表与独立性检验的解释

列联表比较两个分类变量是否有关。检验评估“若总体独立，当前差异是否显得异常”，不直接计算某个假设为真的概率。

二乘二列联表

设观测计数为

	B类	非B类	合计
A类	a	b	a+b
非A类	c	d	c+d
合计	a+c	b+d	n

独立假设下，各格期望计数为对应行总数乘列总数再除以 $n$ 。各边际和正时，Pearson统计量为

K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.

它等于各格 $(\text{观测}-\text{期望})^2/\text{期望}$ 之和。可直接核验：记两行和为 $r_1,r_2$ ，两列和为 $c_1,c_2$ ，则各格期望为 $r_ic_j/n$ ，四个“观测减期望”依次为 $(ad-bc)/n$ 、其相反数、其相反数、它本身。因此平方后求和得到

K^2=\frac{(ad-bc)^2}{n}\left(\frac1{r_1}+\frac1{r_2}\right)\left(\frac1{c_1}+\frac1{c_2}\right)=\frac{n(ad-bc)^2}{r_1r_2c_1c_2},

其中使用 $r_1+r_2=c_1+c_2=n$ 。

使用与例子

若表为 $a=30,b=20,c=20,d=30$ ，各格期望数都是 $25$ ，所以 $K^2=4\cdot25/25=4$ 。将该值与题目给定显著性水平对应的临界值比较，再决定是否拒绝独立假设。

使用近似检验需要观测可合理视为独立、分类互斥，并有足够的期望计数；入门通常检查各格期望计数不少于 $5$ 。稀疏表不能机械套用近似结论，本版不展开替代检验。

易错点

拒绝独立假设表示有统计证据支持关联，不意味着因果。未拒绝也不证明独立，可能是样本信息不足。显著性水平控制特定重复抽样错误率，不是“结论错误的概率”。

例：从列联表算到检验结论

调查 $100$ 人对两种教学安排的偏好与是否参加过体验，得到：

	偏好甲	偏好乙	合计
参加过体验	$30$	$20$	$50$
未参加体验	$15$	$35$	$50$
合计	$45$	$55$	$100$

在“两个分类变量独立”的原假设下，每行的期望频数为 $22.5,27.5$ 。统计量为

\chi^2=\frac{100(30\cdot35-20\cdot15)^2}{50\cdot50\cdot45\cdot55} =\frac{100}{11}\approx9.091.

若题目给出显著性水平 $0.01$ 的临界值 $6.635$ ，因 $9.091>6.635$ ，在该水平下拒绝独立假设，认为数据提供了关联证据。

这不表示“关联成立的概率是 $99\%$ ”，也不证明体验导致偏好改变。显著性水平控制的是在独立假设成立时按此规则误拒绝的风险。

检验前先确认频数和抽样条件

列联表使用实际人数或次数，不能把四个百分数当作四个样本频数。行列总数必须为正；用于卡方近似时，还要注意各格期望频数不能过小，常见高中应用取各格至少为 $5$ 。

调查设计应使观测个体之间具有合理的独立性；同一个人重复填写多次会破坏简单计数模型。若统计量未超过临界值，只能说当前样本证据不足以拒绝独立，不能反过来证明两个变量必然独立。

关联阅读

先修：条件概率、独立与贝叶斯公式 · 总体、样本与抽样设计。

同主题：相关关系与一元线性回归。

二乘二列联表

设观测计数为

B类

非B类

合计

A类

a+b

非A类

c+d

合计

a+c

b+d

独立假设下，各格期望计数为对应行总数乘列总数再除以

n

。各边际和正时，Pearson统计量为

K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.

它等于各格

(\text{观测}-\text{期望})^2/\text{期望}

之和。可直接核验：记两行和为

r_1,r_2

，两列和为

c_1,c_2

，则各格期望为

r_ic_j/n

，四个“观测减期望”依次为

(ad-bc)/n

、其相反数、其相反数、它本身。因此平方后求和得到

K^2=\frac{(ad-bc)^2}{n}\left(\frac1{r_1}+\frac1{r_2}\right)\left(\frac1{c_1}+\frac1{c_2}\right)=\frac{n(ad-bc)^2}{r_1r_2c_1c_2},

其中使用

r_1+r_2=c_1+c_2=n

。

偏好甲

偏好乙

合计

参加过体验

30

20

50

未参加体验

15

35

50

合计

45

55

100

检验前先确认频数和抽样条件

列联表使用实际人数或次数，不能把四个百分数当作四个样本频数。行列总数必须为正；用于卡方近似时，还要注意各格期望频数不能过小，常见高中应用取各格至少为

5

。