函数零点、交点与参数

$f(x)=0$ 的解对应图像与横轴的交点； $f(x)=g(x)$ 可转为 $f(x)-g(x)=0$ ，也可直接比较两图像。

存在与唯一

连续函数在闭区间 $[a,b]$ 上若 $f(a)f(b)<0$ ，则在 $(a,b)$ 至少有一个零点。这里连续可直观理解为图像在区间内没有断裂；端点异号本身并不保证唯一，严格单调可补足唯一性。

这一存在定理在本手册作为高中图像工具使用，不展开实数完备性的证明。

例：存在与个数分别处理

$f(x)=x^3+x-1$ 连续， $f(0)=-1,f(1)=1$ ，所以 $(0,1)$ 内有根。对 $u<v$ ，

f(v)-f(u)=(v-u)(u^2+uv+v^2+1)>0,

故严格递增，全实数上恰有一个根。

参数分离

方程 $x+1/x=a$ （ $x>0$ ）等价于 $x^2-ax+1=0$ 。由 $x+1/x\ge2$ ， $a<2$ 无根； $a=2$ 一根； $a>2$ 两个不同正根。最后一项可由判别式、根和与根积证实。

易错点

$x^2$ 有零点但两侧不变号； $1/x$ 在 $[-1,1]$ 两端异号却没有零点，因为它在 $0$ 未定义。零点“存在”“唯一”“具体位置”应分别论证。

例：二分法怎样得到可保证的误差

求 $x^3-x-1=0$ 在 $(1,2)$ 内的根。令 $f(x)=x^3-x-1$ ，有 $f(1)=-1$ 、 $f(2)=5$ ，且函数连续，因此区间内有根。又 $f'(x)=3x^2-1>0$ ，所以这里的根唯一。

第一次中点为 $1.5$ ， $f(1.5)=0.875>0$ ，保留 $[1,1.5]$ ；第二次中点为 $1.25$ ， $f(1.25)=-0.296875<0$ ，保留 $[1.25,1.5]$ ；第三次保留 $[1.25,1.375]$ 。

初始区间长度为 $L$ ，二分 $n$ 次后长度为 $L/2^n$ ，以新区间中点为近似值，绝对误差不超过 $L/2^{n+1}$ 。本例要误差不超过 $0.001$ ，二分 $9$ 次即可，因为 $1/1024<0.001$ 。该保证来自根始终位于区间中，不是来自小数位数看上去足够多。

零点存在、唯一与个数是三个不同问题

连续且端点异号能保证至少一个根；再有严格单调性，才能断言该区间恰有一个根。端点同号不排除内部有两个根，也不排除不变号的根，例如 $x^2$ 在 $[-1,1]$ 中有根。

研究 $f(g(x))=0$ 时，先找 $f$ 的所有零点 $t_1,\ldots,t_m$ ，再分别解 $g(x)=t_i$ ，并检查复合函数的定义域。若 $f(t)=t(t-1)$ 、 $g(x)=x^2$ ，则 $f(g(x))=0$ 等价于 $x^2=0$ 或 $x^2=1$ ，共有三个不同实根 $0,\pm1$ 。不能把“两层各有两个根”直接相乘。

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先修：单调性、奇偶性、周期与对称 · 二次函数、方程与不等式。

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存在与唯一

连续函数在闭区间

[a,b]

上若

f(a)f(b)<0

，则在

(a,b)

至少有一个零点。这里连续可直观理解为图像在区间内没有断裂；端点异号本身并不保证唯一，严格单调可补足唯一性。

这一存在定理在本手册作为高中图像工具使用，不展开实数完备性的证明。

零点存在、唯一与个数是三个不同问题

连续且端点异号能保证至少一个根；再有严格单调性，才能断言该区间恰有一个根。端点同号不排除内部有两个根，也不排除不变号的根，例如

x^2

在

[-1,1]

中有根。

研究

f(g(x))=0

时，先找

f

的所有零点

t_1,\ldots,t_m

，再分别解

g(x)=t_i

，并检查复合函数的定义域。若

f(t)=t(t-1)

、

g(x)=x^2

，则

f(g(x))=0

等价于

x^2=0

或

x^2=1

，共有三个不同实根

0,\pm1

。不能把“两层各有两个根”直接相乘。