用样本估计总体与抽样波动

估计值随抽到的样本改变。描述数据的离散程度与描述估计值的不确定性，是两个不同的问题。

常见估计

用样本均值估计总体均值，用样本中某类比例估计总体比例。比例分层抽样可直接合并；非比例分层抽样应按总体层权重合并。

若独立同分布的 $X_1,\ldots,X_n$ 具有均值 $\mu$ 、方差 $\sigma^2<\infty$ ，则样本均值 $\bar X=\sum X_i/n$ 满足

E(\bar X)=\mu,\qquad D(\bar X)=\sigma^2/n.

前式由期望线性性得出，后式使用独立时方差相加。样本均值的标准差为 $\sigma/\sqrt n$ 。有限总体不放回抽样并不独立，不能直接把此方差当作精确公式。

独立抽样记录某特征是否出现，真实比例为 $p$ ，样本比例 $\hat p$ 有 $E(\hat p)=p$ 、 $D(\hat p)=p(1-p)/n$ ，由二项分布除以 $n$ 得到。标准差随样本量平方根下降：把标准差减半，在同样模型下需把样本量增至四倍。

增加样本量只能在模型合理时改善精度，不能消除漏选某类群体造成的偏差。一次样本比例恰为零，不证明总体比例必为零。本版不展开置信区间与大样本理论。

常见估计

用样本均值估计总体均值，用样本中某类比例估计总体比例。比例分层抽样可直接合并；非比例分层抽样应按总体层权重合并。

若独立同分布的

X_1,\ldots,X_n

具有均值

\mu

、方差

\sigma^2<\infty

，则样本均值

\bar X=\sum X_i/n

满足

E(\bar X)=\mu,\qquad D(\bar X)=\sigma^2/n.

前式由期望线性性得出，后式使用独立时方差相加。样本均值的标准差为

\sigma/\sqrt n

。有限总体不放回抽样并不独立，不能直接把此方差当作精确公式。