空间向量的叉积、面积与混合积

叉积提供一种直接求法向量的方法。它是三维坐标中的代数工具；与数量积不同，叉积的结果仍是向量。

坐标定义与垂直性

在选定右手直角坐标系后，对 $\mathbf a=(a_1,a_2,a_3),\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)$ ，定义

\mathbf a\times\mathbf b=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1).

与 $\mathbf a$ 、 $\mathbf b$ 分别点乘，六项两两抵消，故结果同时垂直于二者。叉积具有分配律和反交换律 $\mathbf b\times\mathbf a=-\mathbf a\times\mathbf b$ 。它不满足通常的交换律，也不满足结合律，不能任意移动括号。

例如 $\mathbf a=(1,2,0),\mathbf b=(0,1,3)$ 时，叉积为 $(6,-3,1)$ ，与原两向量点乘分别为零。

长度、面积与共线判定

把坐标式平方展开，可得拉格朗日恒等式

|\mathbf a\times\mathbf b|^2=|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2.

对非零向量，右侧等于 $|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2\sin^2\theta$ ，故叉积的模是两向量所张平行四边形面积；三角形面积为其一半。叉积为零当且仅当两向量线性相关，包括其中一个为零的情形。

平面向量 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 看成第三坐标为零的空间向量，叉积仅剩第三分量 $x_1y_2-y_1x_2$ 。它的绝对值是面积，有符号值还区分方向。

法向量与距离

平面经过 $A$ ，并有两个不共线方向向量 $\mathbf u,\mathbf v$ ，则 $\mathbf n=\mathbf u\times\mathbf v\ne0$ 是法向量。平面方程为

\mathbf n\cdot\overrightarrow{AX}=0.

点 $P$ 到平面的距离为 $|\mathbf n\cdot\overrightarrow{AP}|/|\mathbf n|$ 。前例方向向量给 $\mathbf n=(6,-3,1)$ ；若 $A$ 为原点、 $P=(0,0,1)$ ，距离为 $1/\sqrt{46}$ 。若两方向共线，叉积为零，不能据此除以其模长，须另找独立方向。

混合积与体积

三向量的混合积是实数 $(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c$ 。其绝对值为它们张成的平行六面体体积：叉积模给底面积， $\mathbf c$ 在单位法向量上的投影绝对值给高。共面的退化情形也成立，体积为零。

四面体 $ABCD$ 的体积为

V=\frac16\left|\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AD}\right|.

例如三个棱向量为 $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ ，其中 $a,b,c>0$ ，得到 $V=abc/6$ 。交换任意两个棱向量改变混合积的符号，但不改变体积。

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在选定右手直角坐标系后，对

\mathbf a=(a_1,a_2,a_3),\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)

，定义

\mathbf a\times\mathbf b=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1).

与

\mathbf a

、

\mathbf b

分别点乘，六项两两抵消，故结果同时垂直于二者。叉积具有分配律和反交换律

\mathbf b\times\mathbf a=-\mathbf a\times\mathbf b

。它不满足通常的交换律，也不满足结合律，不能任意移动括号。

例如

\mathbf a=(1,2,0),\mathbf b=(0,1,3)

时，叉积为

(6,-3,1)

，与原两向量点乘分别为零。

长度、面积与共线判定

把坐标式平方展开，可得拉格朗日恒等式

|\mathbf a\times\mathbf b|^2=|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2.

对非零向量，右侧等于

|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2\sin^2\theta

，故叉积的模是两向量所张平行四边形面积；三角形面积为其一半。叉积为零当且仅当两向量线性相关，包括其中一个为零的情形。

平面向量

(x_1,y_1),(x_2,y_2)

看成第三坐标为零的空间向量，叉积仅剩第三分量

x_1y_2-y_1x_2

。它的绝对值是面积，有符号值还区分方向。

混合积与体积

三向量的混合积是实数

(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c

。其绝对值为它们张成的平行六面体体积：叉积模给底面积，

\mathbf c

在单位法向量上的投影绝对值给高。共面的退化情形也成立，体积为零。

四面体

ABCD

的体积为

V=\frac16\left|\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AD}\right|.

例如三个棱向量为

(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)

，其中

a,b,c>0

，得到

V=abc/6

。交换任意两个棱向量改变混合积的符号，但不改变体积。