基本初等函数与图像变换

一次函数与反比例函数

一次函数为 $f(x)=kx+b$，其中 $k\ne0$。其定义域和值域都是 $\mathbb R$，$k>0$ 时严格递增，$k<0$ 时严格递减，因为

图像为过 $(0,b)$、斜率为 $k$ 的直线；$b=0$ 时是正比例函数。$k=0$ 时则为常函数，不属于一次函数。

反比例函数为 $f(x)=k/x$，其中 $k\ne0$，定义域和值域都是 $\mathbb R\setminus\{0\}$。图像关于原点对称：$f(-x)=-f(x)$。$k>0$ 时两支位于第一、三象限，$k<0$ 时位于第二、四象限。

在同一个正半轴或负半轴上取 $x_1<x_2$，有

由于 $x_1x_2>0$，$k>0$ 时每支严格递减，$k<0$ 时每支严格递增。不能把两个分支合成一个单调区间。两坐标轴都是渐近线，曲线与它们没有交点。

有理指数幂函数的完整分类

幂函数为 $y=x^\alpha$，指数 $\alpha$ 固定。先取非零有理数 $\alpha=p/q$，其中 $p,q$ 互质且 $q>0$。对允许的实底数，按实 $q$ 次根定义 $x^{p/q}=(\sqrt[q]x)^p$。

依据。 偶次实根要求被开方数非负；负指数又要求底数非零。奇次根保持正负，故负半轴存在时，函数符号与对称性由 $p$ 的奇偶决定。正半轴上正幂严格递增；负幂是正幂的倒数，严格递减。负半轴的变化再由奇偶性推出。所有幂函数均过 $(1,1)$。

$\alpha=0$ 时本手册取 $x\ne0$，$x^0=1$，不在此定义 $0^0$。一般实指数在正半轴由连续扩充定义；$\alpha>0$ 时可连续补入 $x=0$、值为 $0$。负底数的有理幂约定不能无条件延伸到任意实指数。

指数函数与对数函数

指数函数为 $y=a^x$，对数函数为 $y=\log_a x$，均要求 $a>0,a\ne1$。

指数的单调性可从 $a^{x_2}/a^{x_1}=a^{x_2-x_1}$ 判断；对数的单调性由反函数保留单调方向得到。两图像关于 $y=x$ 对称。$a=1$ 的表达式 $1^x$ 有意义，但为常函数，不能有这里的反函数。

对于 $a>1$，$x>0$ 时 $a^x>1$，$x<0$ 时 $0<a^x<1$；对于 $0<a<1$，这两个结论交换。对数相应以 $x=1$ 为符号分界。比较不同底数时应固定输入范围，不能笼统用“越陡”判断所有位置的大小。

常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数称为基本初等函数；由它们经过有限次四则运算和复合所得的函数称为初等函数，每步均须保留合法定义域。

把基本图像与取值范围一起记忆

$x\to+\infty$ 时，$a>1$ 的 $a^x$ 无限增大；$0<a<1$ 的 $a^x$ 趋近 $0$ 但不等于 $0$。横轴是渐近线，不属于函数图像。

平移、伸缩、反射与绝对值变换

设原图像上的点为 $(u,f(u))$。从点的对应关系可以统一判断变换方向：

例如一般组合

将 $(u,f(u))$ 变为 $(h+u/B,Af(u)+k)$。证明只需令 $B(x-h)=u$，反解 $x$；同时新定义域为 $\{x:B(x-h)\in D_f\}$。

$y=\lvert f(x)\rvert$ 保留横轴上方及横轴上的部分，将下方部分翻到上方。$y=f(\lvert x\rvert)$ 只使用原函数在非负横坐标处的信息，保留右半图，再镜像到左侧，其定义域为 $\{x:\lvert x\rvert\in D_f\}$。

若 $f$ 有反函数，关于 $y=x$ 的反射把 $(u,f(u))$ 变为 $(f(u),u)$，故反射图像为 $y=f^{-1}(x)$。关于 $y=-x$ 的反射把原图像上的点变为 $(-f(u),-u)$，反射图像为

不存在反函数时，反射后的曲线未必还是函数图像。