焦半径、准线与圆锥曲线统一观点

焦点—准线定义及三类曲线的推导

给定点 $F$、不经过 $F$ 的直线 $l$ 及常数 $e>0$，研究满足

的点 $P$。常数 $e$ 称为离心率。选择 $F=(0,0)$、准线 $x=d$（$d>0$），则距离等式为 $\sqrt{x^2+y^2}=e|x-d|$。两边非负，平方等价于

• $0<e<1$ 时配方得

为椭圆。

• $e>1$ 时配方得

为包含两支的双曲线。

• $e=1$ 时得 $y^2=-2d(x-d/2)$，为顶点 $(d/2,0)$、向左开口的抛物线。

所有标准式都能反向恢复非负距离等式，因此这里的分类是充要的。尤其 $e>1$ 时不应只保留一支。

椭圆与双曲线的焦半径、准线及焦准距

以下取中心在原点、焦轴为 $x$ 轴，左右焦点为 $F_-=(-c,0),F_+=(c,0)$，$e=c/a$。

两类曲线统一写为 $PF_-=|a+ex|,PF_+=|a-ex|$；椭圆上 $|x|\le a$ 且 $e<1$，可以去掉绝对值。公式的距离平方推导见标准方程。

把焦半径改写为

得到左右焦点对应准线分别为 $x=-a^2/c$、$x=a^2/c$。左右号须配对。焦点到对应准线的距离为

其中椭圆用 $c^2=a^2-b^2$，双曲线用 $c^2=a^2+b^2$。纵向形式交换 $x,y$ 即可。

用途。 含 $PF$ 的距离最值可先换成 $e\,d(P,l)$，变为点到直线的距离问题；但还需保留点在曲线的哪一支、哪一段，不能把带绝对值的距离无条件写成线性式。

抛物线的焦半径速查

以下 $P=(x_0,y_0)$ 在对应曲线上，$p>0$：

焦半径直接等于到准线的距离。例如第一行由方程得 $x_0\ge0$，因此到准线的距离 $|x_0+p/2|=x_0+p/2$。其余三行依次利用 $x_0\le0,y_0\ge0,y_0\le0$ 去绝对值。四个方程的定义与推导见抛物线标准方程。