圆、切线、弦与直线系

圆的定义、方程与直线的位置关系

平面内到定点 $O=(a,b)$ 的距离等于定长 $R>0$ 的点的集合称为圆。$O$ 为圆心，$R$ 为半径。由距离公式，圆的标准方程为

参数方程为 $x=a+R\cos t,y=b+R\sin t$，$t\in[0,2\pi)$。代入标准方程验证每个参数给出圆上点；反过来，圆上任一点的单位方向都对应一个这样的角，所以参数式覆盖整个圆。

一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 配方得到

右侧为正时是圆，圆心 $(-D/2,-E/2)$，半径 $\sqrt{D^2+E^2-4F}/2$；右侧为零时只有一个点；右侧为负时没有实点。

用圆心到直线的距离判断交点

设圆心到直线 $l$ 的距离为 $d$。若 $d<R$，直线与圆交于两点；若 $d=R$，相切于一点；若 $d>R$，没有交点。

依据。 令垂足为 $H$。直线上任一点 $P$ 满足 $OP^2=d^2+HP^2$。要求 $OP=R$，等价于 $HP^2=R^2-d^2$。右侧的正、零、负分别给出两个、一个、零个位置。

相交时 $H$ 为弦中点，弦长为

该推理也说明，当直线经过圆心时弦为直径，长度为 $2R$。

两圆的位置关系

两圆半径 $r_1,r_2>0$、圆心距 $d$ 时：

当 $d>0$ 时，若交点不在圆心连线上，三条边 $r_1,r_2,d$ 必须满足严格三角不等式；反过来，满足这些不等式就能在圆心连线两侧各作出一个三角形，得到恰好两个交点。等号时三点共线，只有一个切点。若三角不等式不成立，则没有交点。$d=0$ 时直接比较半径，得到同心异径和重合两种情形。

根轴及三圆根轴的退化条件

点 $P$ 关于圆心 $O$、半径 $r$ 的圆的幂为 $PO^2-r^2$。对不同心两圆

等幂点轨迹是直线

称根轴；它垂直圆心连线。相交时根轴为公共弦所在直线，相切时为公共切线。

同心异径两圆没有等幂点，重合两圆所有点等幂，故均不能说有一条唯一根轴。

三圆满足根轴方程相加关系 $(C_1-C_2)+(C_2-C_3)=C_1-C_3$。若两根轴相交，其交点必在第三条根轴上；若互不重合且没有交点，则三根轴平行；也可能三根轴重合。上述三条根轴的讨论要求三对圆都不同心；同心情形应按前段另行判断。

拓展：直线系与两圆公共弦

两条相交直线 $L_1=0,L_2=0$ 的过交点直线可写 $\lambda L_1+\mu L_2=0$，其中 $(\lambda,\mu)\ne(0,0)$。若写成 $L_1+tL_2=0$，会遗漏 $L_2=0$。

两圆相减消去二次项得到根轴；两圆相交时它是公共弦所在直线。根轴存在不等于两圆必相交，还需检查公共点。