插值、点值估计与一致最值

插值给出的估计

设次数不超过 $n$ 的 $P$ 在互异节点 $t_0,\ldots,t_n$ 取值，记 $L_i(x)=\prod_{j\ne i}(x-t_j)/(t_i-t_j)$。若 $|P(t_i)|\le M_i$，则

这来自插值式的三角不等式。若已知首项系数，还可比较插值式的最高次项系数，获得各节点值之间的线性关系。节点必须互异；节点值有界不代表整个区间自动具有同样的界。

首一二次式在单位区间的最佳界

设 $P(x)=x^2+ax+b$，记 $M=\max_{-1\le x\le1}|P(x)|$。由

得 $2\le|P(-1)|+2|P(0)|+|P(1)|\le4M$，所以 $M\ge1/2$。

取 $P(x)=x^2-1/2$，其区间值域为 $[-1/2,1/2]$，达到下界。要取等，上述三点必须为 $1/2,-1/2,1/2$，由唯一插值即得该最优多项式唯一。

首一三次式的四点证明

设 $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$。在 $-1,-1/2,1/2,1$ 四点比较插值式的三次项系数，得

所以 $1\le4M$，其中 $M=\max_{[-1,1]}|P|$。取 $P(x)=x^3-3x/4$，导数为 $3x^2-3/4$；检查端点和临界点 $\pm1/2$，绝对值最大为 $1/4$，达到下界。

取等要求四点函数值依次为 $-1/4,1/4,-1/4,1/4$；插值唯一性再次给出最优多项式唯一。四点的选择有依据，不是任意挑四个点都能得到最佳界。

任意次数的切比雪夫最佳界

设 $n\ge1$ 为整数，$P(x)=Ax^n+\cdots$ 为实系数多项式，$A\ne0$。则

此下界可以达到：由切比雪夫多项式的恒等式 $T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$，$T_n$ 的首项系数为 $2^{n-1}$，且在 $[-1,1]$ 上最大绝对值为 $1$。所以取 $P=A T_n/2^{n-1}$ 即可。等价地，若区间上 $|P(x)|\le1$，则 $|A|\le2^{n-1}$。

下界证明。 除以 $A$，只需讨论首一多项式 $Q$。反设它的最大绝对值严格小于 $c=2^{1-n}$。令 $R=Q-cT_n$，最高次项抵消，所以次数至多为 $n-1$。在 $n+1$ 个点 $t_j=\cos(j\pi/n)$（$0\le j\le n$）处，$cT_n(t_j)=c(-1)^j$，故 $R(t_j)$ 交替严格为负、正。每两个相邻节点之间，介值定理给出一个不同实根，总计至少 $n$ 个。非零的至多 $n-1$ 次多项式不可能有这么多根；零多项式又与严格符号矛盾。因此下界成立。

取等时的唯一性。 若首一 $Q$ 在区间上满足 $|Q|\le c$，仍令 $R=Q-cT_n$。在上述按降序排列的节点 $t_0>\cdots>t_n$，有 $(-1)^jR(t_j)\le0$。因为 $\deg R\le n-1$，比较其 $n+1$ 节点插值式的 $x^n$ 系数，得到

第 $j$ 个分母恰有 $j$ 个负因子，符号为 $(-1)^j$，故每个求和项都非正。和为零迫使全部为零，于是 $R$ 在 $n+1$ 个互异节点为零，只能恒为零。所以唯一的取等多项式是 $P=A2^{1-n}T_n$。

对任意 $L<U$，令 $h=(U-L)/2$、$m=(L+U)/2$。$P(m+ht)$ 的首项系数为 $Ah^n$，所以

达到该值的选择为 $P(x)=Ah^n2^{1-n}T_n((x-m)/h)$。区间退化为一点时不适用这一缩放证明。