几何体的面积、体积与等体积法

柱、锥、台的体积

体积中的高一律取垂直距离。柱体的高是两底面之间的距离；锥体的高是顶点到底面的距离；台体的高是两个平行底面之间的距离。侧棱或母线的长度一般不能代替高。

设底面积为 $S$、高为 $h$；台体两底面积为 $S_1,S_2$。采用高中几何的柱体、锥体体积公式：

它们适用于棱柱、棱锥以及圆柱、圆锥；斜棱柱、斜棱锥也按垂直高度计算。这两个公式作为体积理论的基本结论使用，本节不以展开图代替体积证明。

由平行于底面的平面截去锥顶后，剩余的台体满足

推导。 设大底面积 $S_1$，小底面积 $S_2<S_1$，补成的大锥体高为 $H$。大、小锥相似，令线性比

两锥体积相减：

当 $S_2=0$ 时退化为锥体公式；两底面积相等时，公式形式上给出柱体的 $Sh$，但非退化锥体不能用两个不同的平行截面截出等面积底面。任意“上下两面平行”的几何体并不都满足台体公式。

直圆柱、直圆锥、直圆台的面积与体积

设半径 $r>0$，圆台两底半径为 $R>r>0$，母线长为 $l$。

圆柱侧面展开为长 $2\pi r$、宽 $h$ 的矩形。圆锥侧面展开为半径 $l$、弧长 $2\pi r$ 的扇形，面积为弧长乘半径的一半，即 $\pi rl$。圆台补锥后作两圆锥侧面积之差，推导见圆台公式。总表面积还须加上实际存在的底面。

等体积法求距离

同一棱锥可选择不同的面作底。若一个三棱锥用底面积 $S_1$、高 $h_1$ 和另一底面积 $S_2$、高 $h_2$ 表示体积，则

这种方法适合“待求点面距离是某个棱锥的高，而棱锥体积可以从另一底面算出”的情况。换底时顶点也随之改变；必须始终在计算同一个几何体。

正棱柱、正棱锥与正棱台的侧面积

设底面周长为 $p$。直棱柱各侧面为矩形，高均为 $h$，所以 $S_{\text{侧}}=ph$。正棱锥各侧面为三角形，共同斜高为 $l$，故 $S_{\text{侧}}=pl/2$。

正棱台上下底周长分别为 $p_1,p_2$，各侧面等腰梯形的共同高为 $l$，则

这些公式直接来自把各侧面面积相加。非正棱锥、非正棱台的侧面高度通常不同，应逐面计算；斜棱柱也不能把侧棱长直接当作矩形高。

全面积还要加上底面积：棱柱加两个全等底面，棱锥加一个底面，棱台加两个不同底面。圆柱、圆锥、圆台的对应公式统一见前面的旋转体表。

球冠与球缺：曲面面积和体积要分开

球半径为 $R>0$，截得球冠的高为 $0\le h\le2R$，截面圆半径为 $\rho$。勾股定理给

常见材料题使用球冠曲面面积与球缺体积公式

球缺是实体；若求它的全部边界面积，另加底面圆面积 $\pi\rho^2$。本节将两个公式作为高中材料题的给定工具使用，不引入曲面积分或积分推导。

截平面另一侧的高为 $2R-h$，两球冠面积之和为 $4\pi R^2$，两球缺体积之和为 $4\pi R^3/3$，可以直接代数验算。

例如两个球冠面积比为 $1:2$，对应高为 $2R/3,4R/3$；代入体积公式得到体积比 $7:20$。面积比不能直接当成体积比，也不能把两块球缺误认为相似体。