倒数换元、齐次方程与分式方程组

选换元时，既要让表达式变简单，也要写清新变量能取哪些值。倒数、比值和连等分式都涉及除法，漏掉零值分支会丢解。

倒数换元的适用范围

实数 $x\ne0$ 时令 $t=x+1/x$ ，其范围为 $t\le-2$ 或 $t\ge2$ ，因为反解 $x^2-tx+1=0$ 要求判别式 $t^2-4\ge0$ ；若 $x>0$ ，则只有 $t\ge2$ 。

这种换元适合成对出现的 $x^k+x^{-k}$ 。例如 $x^2+x^{-2}=t^2-2$ ，可降低方程次数。各次幂的完整递推、倒数多项式的系数条件与降次证明见倒数对称与换元。新方程的解还需满足范围并还原为原变量。

例：同一换元在实数与复数中的差别

四次式 $x^4-3x^3+4x^2-3x+1$ 令 $t=x+1/x$ 后得到 $(t-1)(t-2)=0$ 。求实根时排除 $t=1$ ， $t=2$ 给出 $x=1$ ；求复根时 $t=1$ 还给出 $(1\pm i\sqrt3)/2$ 。

原式如何逐项化为这个二次式，见完整降次过程。这里说明同一个代数换元在不同数的范围内，候选的筛选规则不同。

齐次方程必须保留零值分支

解实数方程 $x^2-3xy+2y^2=0$ 。若 $y=0$ ，则 $x=0$ ；若 $y\ne0$ ，除以 $y^2$ ，令 $t=x/y$ ，得 $(t-1)(t-2)=0$ 。

全部解为直线 $x=y$ 或 $x=2y$ 上的点，包括原点。直接说“ $x/y=1$ 或 $2$ ”会遗漏原点。

一般齐次多项式 $F$ 满足 $F(tx,ty)=t^dF(x,y)$ 。当 $y\ne0$ 时才有 $F(x,y)=y^dF(x/y,1)$ ，这解释了降维的依据。

连等分式：引入公共比值

若 $A_i/B_i=k$ ，所有原分母 $B_i\ne0$ ，则 $A_i=kB_i$ 。当 $\sum B_i\ne0$ 时，还可得 $k=(\sum A_i)/(\sum B_i)$ ；和分母为零时不能这样求 $k$ 。

例如实数 $x,y,z$ 满足

\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y},

并要求三个分母非零。记 $s=x+y+z$ 。若 $s\ne0$ ，分子总和除以分母总和给公共比值 $1/2$ ，于是 $x=y=z\ne0$ 。若 $s=0$ ，三个分母分别为 $-x,-y,-z$ ，只要三数都非零就全部等于 $-1$ 。

所以解由“相等且非零”与“和为零且各自非零”两类构成，第二类正是直接合比可能遗漏的分支。

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倒数换元的适用范围

实数

x\ne0

时令

t=x+1/x

，其范围为

t\le-2

或

t\ge2

，因为反解

x^2-tx+1=0

要求判别式

t^2-4\ge0

；若

x>0

，则只有

t\ge2

。

这种换元适合成对出现的

x^k+x^{-k}

。例如

x^2+x^{-2}=t^2-2

，可降低方程次数。各次幂的完整递推、倒数多项式的系数条件与降次证明见倒数对称与换元。新方程的解还需满足范围并还原为原变量。

连等分式：引入公共比值

若

A_i/B_i=k

，所有原分母

B_i\ne0

，则

A_i=kB_i

。当

\sum B_i\ne0

时，还可得

k=(\sum A_i)/(\sum B_i)

；和分母为零时不能这样求

k

。

例如实数

x,y,z

满足

\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y},

并要求三个分母非零。记

s=x+y+z

。若

s\ne0

，分子总和除以分母总和给公共比值

1/2

，于是

x=y=z\ne0

。若

s=0

，三个分母分别为

-x,-y,-z

，只要三数都非零就全部等于

-1

。

所以解由“相等且非零”与“和为零且各自非零”两类构成，第二类正是直接合比可能遗漏的分支。