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函数图像变换：坐标、定义域与操作顺序

拓展更新于 2026-09-29

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图像变换可以统一为点的坐标变换。先写原图上一点怎样移动，再消去原坐标，就能同时确定新公式与新定义域。

统一公式与坐标对应

设 $f$ 的定义域为 $D$ ， $A,B$ 为非零实数。对函数

g(x)=A f(Bx+C)+D_0,

原图上的点 $(u,f(u))$ 对应新图上的点

\left(\frac{u-C}{B},\ A f(u)+D_0\right).

这是因为令 $u=Bx+C$ ，可解出 $x=(u-C)/B$ 。因此

\operatorname{Dom}(g)=\{(u-C)/B:u\in D\},\qquad \operatorname{Ran}(g)=\{Av+D_0:v\in\operatorname{Ran}(f)\}.

负数倍会反转方向。例如 $B<0$ 时，原定义域区间的左右端点交换，端点是否取到随对应点一起移动。

$A=0$ 时，表达式仍须满足 $Bx+C\in D$ ，不能因最后乘零就自动把定义域扩为实轴。 $B=0$ 时若 $C\in D$ ，得到常函数；否则表达式处处无定义。上述一一坐标对应只用于 $A,B\ne0$ 。

平移、反射、伸缩与翻折的完整对应表

设原图像上的点为 $(u,f(u))$ 。下表的点坐标对应同时说明图形变化与新函数，平移距离 $a>0$ ，伸缩因子 $k>0$ 。

变换	新函数	对应点
向右、向左平移 $a$	$f(x-a)$ 、 $f(x+a)$	$(u+a,f(u))$ 、 $(u-a,f(u))$
向上、向下平移 $a$	$f(x)+a$ 、 $f(x)-a$	$(u,f(u)+a)$ 、 $(u,f(u)-a)$
关于 $y$ 轴反射	$f(-x)$	$(-u,f(u))$
关于 $x$ 轴反射	$-f(x)$	$(u,-f(u))$
关于原点反射	$-f(-x)$	$(-u,-f(u))$
关于 $y=x$ 反射	$f^{-1}(x)$ （须可逆）	$(f(u),u)$
关于直线 $x=a$ 反射	$f(2a-x)$	$(2a-u,f(u))$
关于点 $(a,b)$ 反射	$2b-f(2a-x)$	$(2a-u,2b-f(u))$
横坐标缩放至 $1/k$	$f(kx)$	$(u/k,f(u))$
纵坐标缩放至 $k$	$kf(x)$	$(u,kf(u))$

这些公式由将新横坐标代回对应表达式逐行验证，例如新点横坐标为 $2a-u$ ，则 $f(2a-(2a-u))=f(u)$ 。定义域也随横坐标变化；纵向变化不改定义域。原稿将 $kf(x)$ 写成“沿 $x$ 轴”伸缩，应为沿 $y$ 轴方向。

翻折有两种不同操作：

|f(x)|=\begin{cases}f(x),&f(x)\ge0,\\-f(x),&f(x)<0;\end{cases} \qquad f(|x|)=\begin{cases}f(x),&x\ge0,\\f(-x),&x<0.\end{cases}

前者保留上半部、把下半部向上反射；后者保留原图像 $u\ge0$ 的部分，再向左反射，原来的左半部不保留。后者定义域为 $\{x:|x|\in D_f\}$ ，不能默认所有实数都有定义。

由坐标对应判断方向

对横向变化，先反解新横坐标，再判断平移或伸缩。例如新函数 $f(kx)$ 中，原输入 $u$ 对应 $kx=u$ ，所以新横坐标为 $u/k$ 。当 $k>1$ 时图像向纵轴压缩， $0<k<1$ 时横向伸长。

对纵向变化，直接计算新函数值。例如 $kf(x)$ 保持横坐标不变，把纵坐标乘以 $k$ ； $k<0$ 时还包含关于横轴的反射。

对相对于某条水平线的反射，可写成

y=2b-f(x),\qquad (u,v)\longmapsto(u,2b-v).

新旧两点的纵坐标平均值为 $b$ ，故它们关于 $y=b$ 对称。用点坐标判断，可以避免将公式中正负号与图像移动方向机械对应。

变换顺序与完整算例

由 $f(x)$ 先向右平移 $h$ ，再把横坐标乘 $s>0$ ，得到 $f(x/s-h)$ ；先伸缩再右移则得到 $f((x-h)/s)$ 。前者把原点移到横坐标 $sh$ ，后者移到 $h$ ，通常不同。

设 $f(t)=\sqrt t$ ， $0\le t\le4$ ，求 $g(x)=-2f(3-2x)+1$ 的定义域、值域与单调性。

由 $0\le3-2x\le4$ 得 $-1/2\le x\le3/2$ 。原函数值域为 $[0,2]$ ，故新值域为 $[-3,1]$ 。 $x$ 增大时输入减小，平方根值减小，再乘负数后增大，所以 $g$ 严格递增。原端点 $(0,0),(4,2)$ 分别变为 $(3/2,1),(-1/2,-3)$ ，可同时复核三个结论。

斜轴反射与反函数的使用条件

关于直线 $y=x+a$ 反射，点的对应为

(u,v)\longmapsto(v-a,u+a).

将新点写成 $(x,y)$ ，原图像上的对应点即 $(y-a,x+a)$ ，于是反射后的曲线满足

x+a=f(y-a),\qquad y-a\in D.

若 $f$ 在 $D$ 上一一对应到其值域，才可写成函数

y=f^{-1}(x+a)+a,\qquad x+a\in f(D).

关于直线 $y=-x+a$ 反射，则 $(u,v)\mapsto(a-v,a-u)$ ，曲线方程为 $a-x=f(a-y)$ ；可逆时为 $y=a-f^{-1}(a-x)$ 。

例如 $y=x^2$ 的整条图像关于 $y=x$ 反射后是 $x=y^2$ ，并不是单值函数。若先限制原定义域为 $[0,+\infty)$ ，才得到 $y=\sqrt x$ 。图像反射总能进行，反射结果能否写成单值函数要另行判断。

绝对值的两种折叠

$y=|f(x)|$ 保留原定义域：原来位于横轴上方的点不动，下方的点关于横轴翻折。

$y=f(|x|)$ 的定义域为 $\{x:|x|\in D\}$ ：只使用原图横坐标非负的部分，再关于纵轴复制。原图左半部分被舍去。若原定义域全在负半轴，这个新表达式甚至可能没有定义点。

$y=|f(|x|)|$ 先取非负横坐标部分并左右复制，再把负函数值向上折。以 $f(x)=x-1$ 为例， $|f(x)|=|x-1|$ 的顶点横坐标为 $1$ ， $f(|x|)=|x|-1$ 的顶点横坐标为 $0$ ；两者不能互换。

求 $|f(x)|=c$ 时， $c<0$ 无解， $c\ge0$ 可转为 $f(x)=c$ 或 $f(x)=-c$ ，并去掉重复解；求 $f(|x|)=c$ 时先求非负输入 $t$ 的解，再由 $|x|=t$ 还原。

一幅图的对称与两幅图的对应

任意 $f$ 与 $g(x)=f(2a-x)$ 的两幅图像都关于 $x=a$ 互为镜像。只有当定义域也关于 $a$ 对称，且 $f(2a-x)=f(x)$ 对所有定义点成立，才能说 $f$ 自身以 $x=a$ 为对称轴。

类似地，恒等式 $f(a+t)=f(b-t)$ 描述自身对称时，必须覆盖全部定义点并保证反射后的点仍在定义域；此时轴为 $x=(a+b)/2$ 。恒等式 $f(a+t)+f(b-t)=c$ 对应中心 $((a+b)/2,c/2)$ 。仅在部分重叠区间成立，不能推出整幅图像对称。

利用交换坐标配对交点

若两个方程组成的交点条件在交换 $x,y$ 后保持不变，则 $(x,y)$ 与 $(y,x)$ 同时为交点。要用配对求和，还应检查交点个数和是否有落在 $x=y$ 上的固定点。

例如 $y=1/x$ 与 $y=\sqrt{4-x^2}$ 的公共点满足

x>0,\quad y>0,\quad xy=1,\quad x^2+y^2=4.

正性来自第二个函数非负且第一个函数非零。消去 $y$ 得 $x^4-4x^2+1=0$ ，故 $x^2=2\pm\sqrt3$ ，两者均正，各给一个交点。交换坐标保持这组条件；而 $x=y$ 会由 $xy=1$ 推出 $x=y=1$ ，与 $x^2+y^2=4$ 矛盾。因此这两个不同交点恰好互换坐标。记为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，则

x_1-y_1+x_2-y_2=0.

这里验证根的个数是为了确保“两个交点互为交换”没有漏掉其他点；求和本身无须展开根式。

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