导数构造与乘积、商的识别

由乘积法则与商法则识别辅助函数

设 $f$ 在所研究区间内可导。条件中的 $f,f'$ 常来自乘积或商的导数，下面列出讲义所用的完整模型。

表中 $c,k,r$ 为常数。每一行都可通过乘积、商或复合求导法则直接验证。例如

分母在指定区间内为正，故导数符号与分子相同；若给出的条件是 $xf'\ln x-f$，因 $x>0$，它与该分子的符号也相同。

整数次幂模型可以扩展到允许的负半轴，但此时 $x^{r-1}$ 或 $x^{r+1}$ 的符号必须另查，不能直接沿用正半轴的单调方向。

使用步骤是：先识别模型并实际求导核对，再确定辅助函数的定义区间和单调方向，最后利用已知点的函数值比较。分母为零处把定义域分成几个区间时，各区间需分别处理。

导数与对称、周期关系

以下 $f$ 在相应开区间可导；周期结论取定义域为 $\mathbb R$。

1. 若 $f(x+T)=f(x)$，$T\ne0$，两边求导得 $f'(x+T)=f'(x)$。因此 $T$ 也是导函数的周期，但未必是导函数的最小正周期。
2. 若 $f(a+t)=f(a-t)$，求导得 $f'(a+t)=-f'(a-t)$。原图关于 $x=a$ 对称，导函数图关于 $(a,0)$ 对称。
3. 若 $f(a+t)+f(a-t)=2b$，求导得 $f'(a+t)=f'(a-t)$。原图关于 $(a,b)$ 对称，导函数图关于 $x=a$ 对称。

反向结论需要定义域为关于 $a$ 对称的区间。若 $f'(a+t)=-f'(a-t)$，令 $H(t)=f(a+t)-f(a-t)$，则

由中值定理，$H$ 在整个区间为常数；$H(0)=0$，故 $f(a+t)=f(a-t)$。若 $f'(a+t)=f'(a-t)$，则对 $G(t)=f(a+t)+f(a-t)$ 同样得到 $G'=0$，所以 $G(t)=G(0)=2f(a)$。

特别地，关于原点对称的区间上，$f'$ 为奇函数推出 $f$ 为偶函数；$f'$ 为偶函数推出 $f(x)-f(0)$ 为奇函数，不能无条件推出 $f$ 本身为奇函数。区间条件不能省略：在 $\mathbb R\setminus\{0\}$ 上取 $f(x)=1$（$x>0$）、$f(x)=2$（$x<0$），则 $f'=0$ 为奇函数，$f$ 却不为偶函数。

把两边化成同一个严格单调函数

若不等式可写成 $F(u(x))\ge F(v(x))$，且两个输入始终位于 $F$ 的同一个严格递增区间内，则它等价于 $u(x)\ge v(x)$；若 $F$ 严格递减，则等价于 $u(x)\le v(x)$。方程 $F(u)=F(v)$ 在单射条件下等价于 $u=v$。

这种方法常称为同构法。先通过移项、取对数或指数变形识别两边共有的表达式，再证明该表达式在所需输入区间上的严格单调性，最后比较内部变量。取对数前两边须为正；内层取值跨越外层函数的不同单调区间时，不能直接消去 $F$。

讲义中的四组常用模型为 $te^t$ 与 $t\ln t$、$t+\ln t$ 与 $t+e^t$、$t/e^t$ 与 $\ln t/t$、$t-\ln t$ 与 $t-e^t$。乘除模型的完整性质见本篇下一节；加减模型如下。

前两行导数恒正。后两行导数分别在 $1$、$0$ 两侧变号，将临界点代入即可得到最值。因此后两种模型用于消去外层函数时，必须确认两个输入落在同一单调分支。

例如 $u,v>0$ 时，$F(t)=t+\ln t$ 有 $F'(t)=1+1/t>0$。于是 $u+\ln u\ge v+\ln v$ 与 $u\ge v$ 等价。这里严格单调性保证正反两方向都成立；仅有非减性时，函数值相等可能来自同一平台上的不同输入。

六个常用指数组合、对数组合函数

下面把讲义图中的性质写成可核查的公式。各区间指函数在该区间上严格单调；断开的定义域分别讨论。

推导。 乘积、商求导得到第二列；指数因子、平方分母均为正，所以依次只需判断 $x+1,x-1,1-x,1+\ln x,\ln x-1,1-\ln x$ 的符号。将唯一临界点代回函数，得到表中的极值。

值域还须结合端点。使用 $x\ln x\to0$（$x\to0^+$）、$\ln x/x\to0$（$x\to+\infty$），以及 $te^{-t}\to0$（$t\to+\infty$）：最后一式可由 $e^t\ge t^2/2$ 给出 $0\le te^{-t}\le2/t$。于是 $xe^x\to0^-$（$x\to-\infty$），$x/e^x\to0^+$（$x\to+\infty$）。分母趋零的各分支则按符号分别趋于正、负无穷。结合每段的连续性与单调性，得到整列值域。

例如 $e^x/x$ 在正半轴有最小值 $e$，在整个定义域却没有最小值；图上局部最低点不能直接称作全局最低点。