几何分布与等待状态

等待问题先定义何时停止，再写事件或状态。“累计两次”与“连续两次”对应不同规则。

首次成功的等待次数与几何分布

进行相互独立的重复试验，每次成功的概率固定为 $p$ ， $0<p\le1$ 。记 $T$ 为第一次成功发生的试验次数，从第一次试验开始计数。因此 $T$ 取正整数值。

当 $0<p<1$ 时，记 $q=1-p$ ，则

P(T=k)=q^{k-1}p\quad(k=1,2,\ldots),\qquad P(T>n)=q^n\quad(n=0,1,2,\ldots).

分布公式的依据。 $T=k$ 要求前 $k-1$ 次都失败，第 $k$ 次成功；独立性给出乘积 $q^{k-1}p$ 。 $T>n$ 则只要求前 $n$ 次全部失败。前 $m$ 项概率之和是 $1-q^m$ ，趋于 $1$ ，所以这些取值构成完整的分布列；永远不成功的概率为零。

$p=1$ 时 $T=1$ 恒成立，应直接记 $P(T=1)=1$ 、其余概率为零，避免在端点写含 $0^0$ 的表达式。 $p=0$ 时永远不成功，不属于上述正整数值分布。

期望：通过有限截断推导

先把等待次数截在 $m$ ，记 $T_m=\min(T,m)$ 。对每次试验结果都有

T_m=\sum_{j=0}^{m-1}I_{\{T>j\}},

因为若 $T=k\le m$ ，恰有前 $k$ 个指示量为 $1$ ；若 $T>m$ ，全部 $m$ 个都为 $1$ 。由有限和的期望线性性，

E(T_m)=\sum_{j=0}^{m-1}q^j=\frac{1-q^m}{p}\longrightarrow\frac1p.

对于非负整数随机变量，其期望可定义为这些有限截断期望的极限。因此 $E(T)=1/p$ 。这既给出数值，也说明期望有限；不能先写一个可能含无穷大的期望方程，再把它当普通实数移项。

无记忆性

当 $0<p<1$ ，对非负整数 $m,n$ ，

P(T>m+n\mid T>m)=\frac{q^{m+n}}{q^m}=q^n=P(T>n).

意思是已知前 $m$ 次都失败后，继续等待的分布与从头等待相同。它依赖每次成功率不变和试验独立；不放回抽样、成功率随次数改变时不能套用。 $p=1,m\ge1$ 时条件事件概率为零，条件概率式无定义。

例：连续两个正面

公平硬币独立抛掷，设 $E_0$ 为尚无末尾正面时的剩余等待期望， $E_1$ 为末尾已有一个正面时的期望。按下一次分类：

E_0=1+\tfrac12E_0+\tfrac12E_1,\qquad E_1=1+\tfrac12E_0.

解得 $E_0=6,E_1=4$ 。期望有限可先由成对试验说明：每个不重叠二次块以 $1/4$ 概率双正面，真实停止时间不超过等待这种块结束的时间，其期望为 $2\cdot4=8$ 。

对比与边界

累计两个正面只需两段首次成功等待，期望为 $2+2=4$ 。 $p=0$ 时从不成功，不能套用有限期望公式。方程中“加1”表示实际进行了一次试验，成功后不再追加未来等待。

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先修：条件概率、独立与贝叶斯公式 · 分布列、期望与方差 · 一阶递推与换元。

同主题：两点、二项与超几何分布 · 均匀模型与正态分布。

首次成功的等待次数与几何分布

进行相互独立的重复试验，每次成功的概率固定为

p

，

0<p\le1

。记

T

为第一次成功发生的试验次数，从第一次试验开始计数。因此

T

取正整数值。

当

0<p<1

时，记

q=1-p

，则

P(T=k)=q^{k-1}p\quad(k=1,2,\ldots),\qquad P(T>n)=q^n\quad(n=0,1,2,\ldots).

分布公式的依据。

T=k

要求前

k-1

次都失败，第

k

次成功；独立性给出乘积

q^{k-1}p

。

T>n

则只要求前

n

次全部失败。前

m

项概率之和是

1-q^m

，趋于

1

，所以这些取值构成完整的分布列；永远不成功的概率为零。

p=1

时

T=1

恒成立，应直接记

P(T=1)=1

、其余概率为零，避免在端点写含

0^0

的表达式。

p=0

时永远不成功，不属于上述正整数值分布。

期望：通过有限截断推导

先把等待次数截在

m

，记

T_m=\min(T,m)

。对每次试验结果都有

T_m=\sum_{j=0}^{m-1}I_{\{T>j\}},

因为若

T=k\le m

，恰有前

k

个指示量为

1

；若

T>m

，全部

m

个都为

1

。由有限和的期望线性性，

E(T_m)=\sum_{j=0}^{m-1}q^j=\frac{1-q^m}{p}\longrightarrow\frac1p.

对于非负整数随机变量，其期望可定义为这些有限截断期望的极限。因此

E(T)=1/p

。这既给出数值，也说明期望有限；不能先写一个可能含无穷大的期望方程，再把它当普通实数移项。

无记忆性

当

0<p<1

，对非负整数

m,n

，

P(T>m+n\mid T>m)=\frac{q^{m+n}}{q^m}=q^n=P(T>n).

意思是已知前

m

次都失败后，继续等待的分布与从头等待相同。它依赖每次成功率不变和试验独立；不放回抽样、成功率随次数改变时不能套用。

p=1,m\ge1

时条件事件概率为零，条件概率式无定义。