解析几何中的定值、定点与最值

动点问题中，“不随参数改变”的量可通过消元发现；最值问题则需保留参数的完整范围。

定值例子

椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ （ $a>b>0$ ）上取非顶点 $P(x,y)$ ，长轴端点为 $A(-a,0),B(a,0)$ 。两直线斜率之积为

k_{AP}k_{BP}=\frac{y^2}{(x+a)(x-a)}=-\frac{b^2}{a^2}.

其中使用 $y^2=b^2(1-x^2/a^2)$ 消去动点坐标。长轴端点处某条连线退化，不能纳入此斜率结论。

定点检验

若直线族为 $(m+1)x+(2m-1)y-3m=0$ ，整理成 $m(x+2y-3)+(x-y)=0$ 。要对所有实数 $m$ 成立，须同时有 $x+2y-3=0,x-y=0$ ，故全体直线经过 $(1,1)$ 。反代可验证没有遗漏。

最值例子

椭圆上令 $x=a\cos t,y=b\sin t$ ，线性目标 $ux+vy$ 化为 $ua\cos t+vb\sin t$ 。由辅助角或柯西不等式，最大值为 $\sqrt{u^2a^2+v^2b^2}$ ，最小值为其相反数；若 $(u,v)\ne(0,0)$ ，单位圆上存在相应取等方向。若只取椭圆一段，则必须重新限制 $t$ ，不能直接使用全曲线最值。

易错点

用几个特殊位置猜出的定值需要对一般参数证明。把斜率作为变量常遗漏竖直线；获得候选定点后要代回原直线族检查退化成员。

椭圆到直线距离的统一范围

椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ ， $a,b>0$ ，可设 $x=a\cos t,y=b\sin t$ 。对直线 $ux+vy+w=0$ ， $u^2+v^2>0$ ，令 $M=\sqrt{a^2u^2+b^2v^2}$ ，则 $ux+vy$ 的完整值域为 $[-M,M]$ 。因此到直线距离的最大、最小值分别为

d_{\max}=\frac{|w|+M}{\sqrt{u^2+v^2}},\qquad d_{\min}=\frac{\max(|w|-M,0)}{\sqrt{u^2+v^2}}.

若 $|w|\le M$ ，直线与椭圆有交点，最小距离就是零，不能仍写 $(|w|-M)/\sqrt{u^2+v^2}$ 。例如椭圆 $x^2/4+y^2=1$ 到 $3x+4y-10=0$ 的距离范围为 $[(10-2\sqrt{13})/5,(10+2\sqrt{13})/5]$ 。

抛物线上点到轴上定点的距离最小值

设 $P$ 在 $y^2=4x$ 上， $Q=(a,0)$ 。由于 $x\ge0$ ，

PQ^2=(x-a)^2+4x=(x-a+2)^2+4a-4.

当 $a\ge2$ ，顶点横坐标 $a-2$ 可取，最小距离为 $2\sqrt{a-1}$ ；当 $a<2$ ，平方距离在 $x\ge0$ 上递增，最小距离为 $|a|$ ，在抛物线顶点取得。

$a>2$ 时，有上下对称的两个最近点； $a=2$ 时两点合为顶点。若只对平方后的二次函数取全实数最小值，会在 $a<2$ 时得到不可达甚至没有意义的结果。

关联阅读

先修：直线与圆锥曲线：交点、弦与切线 · 轨迹、参数方程与极坐标 · 柯西不等式与分式形式。

同主题：轨迹、参数方程与极坐标 · 平面区域与线性目标。

定点检验

若直线族为

(m+1)x+(2m-1)y-3m=0

，整理成

m(x+2y-3)+(x-y)=0

。要对所有实数

m

成立，须同时有

x+2y-3=0,x-y=0

，故全体直线经过

(1,1)

。反代可验证没有遗漏。

椭圆到直线距离的统一范围

椭圆

x^2/a^2+y^2/b^2=1

，

a,b>0

，可设

x=a\cos t,y=b\sin t

。对直线

ux+vy+w=0

，

u^2+v^2>0

，令

M=\sqrt{a^2u^2+b^2v^2}

，则

ux+vy

的完整值域为

[-M,M]

。因此到直线距离的最大、最小值分别为

d_{\max}=\frac{|w|+M}{\sqrt{u^2+v^2}},\qquad d_{\min}=\frac{\max(|w|-M,0)}{\sqrt{u^2+v^2}}.

若

|w|\le M

，直线与椭圆有交点，最小距离就是零，不能仍写

(|w|-M)/\sqrt{u^2+v^2}

。例如椭圆

x^2/4+y^2=1

到

3x+4y-10=0

的距离范围为

[(10-2\sqrt{13})/5,(10+2\sqrt{13})/5]

。