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集合、数集与区间

基础更新于 2026-09-29

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集合描述一类确定的对象。判断集合是否相同，应比较元素，而非排列顺序或书写形式。

集合、元素与五种表示方法

集合是一类确定对象的全体，对象叫作元素。 $x\in A$ 表示 $x$ 属于集合 $A$ ， $x\notin A$ 表示不属于。

集合有三个基本特征：确定性——给定对象是否属于它有明确答案；互异性——同一个对象只算一个元素；无序性——改变列举顺序不改变集合。因此 $\{1,1,2\}=\{1,2\}=\{2,1\}$ ，不能因为列举式写了三个位置，就断言集合有三个元素。

表示方法

(1) 列举法：如 $A=\{-1,0,1\}$ 。重复写入某个数不会增加元素个数。

(2) 描述法：如 $A=\{x\in\mathbb Z:-1\le x\le1\}$ 。冒号或竖线左侧说明元素的形式及所属范围，右侧说明筛选条件。变量名称可以更换，但必须连同其受约束的出现位置一起更换。

(3) 区间法：用于实数集的连续部分，完整约定如下，有限端点默认 $a<b$ 。

区间	对应条件
$(a,b)$	$a<x<b$
$[a,b]$	$a\le x\le b$
$[a,b)$	$a\le x<b$
$(a,b]$	$a<x\le b$
$(a,+\infty)$	$x>a$
$[a,+\infty)$	$x\ge a$
$(-\infty,b)$	$x<b$
$(-\infty,b]$	$x\le b$
$(-\infty,+\infty)$	$x\in\mathbb R$

无穷大不是实数，不能作为被包含的端点。退化时 $[a,a]=\{a\}$ ，而 $(a,a),[a,a),(a,a]$ 都为空集；若左端点大于右端点，按相应不等式理解为没有满足条件的实数。

(4) 文字叙述法：例如“所有非负整数的平方所组成的集合”。必须把对象范围和判断标准说清，“很大的数”没有统一标准。

(5) 图示法：数轴表示实数的区间；韦恩图用区域表示集合及其关系。图只承载已经给出的关系，不能从示意图擅自增加包含或相交条件。

常用数集、空集与基数

本手册 $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ ， $\mathbb N_+=\{1,2,\ldots\}$ ； $\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$ 分别为整数集、有理数集和实数集，满足 $\mathbb N_+\subsetneq\mathbb N\subsetneq\mathbb Z\subsetneq\mathbb Q\subsetneq\mathbb R$ 。

空集 $\varnothing$ 不含元素。有限集合的元素个数记为 $|A|$ 、 $\operatorname{card}(A)$ 或 $\#A$ ； $|\varnothing|=0$ 。 $\{\varnothing\}$ 有一个元素， $\{0\}$ 也有一个元素，但它们彼此不同，且都不同于空集。无限集不直接套用有限集的减法计数公式。

包含、相等与真子集的完整条件

A\subseteq B\iff(\forall x)(x\in A\Rightarrow x\in B),

A=B\iff A\subseteq B\text{ 且 }B\subseteq A,

A\subsetneq B\iff A\subseteq B\text{ 且存在 }x\in B\setminus A.

本手册统一用 $\subseteq$ 表示允许相等的包含，用 $\subsetneq$ 表示严格包含，避免不同教材对 $\subset$ 的约定不一致。

“属于”在问一个对象是不是某集合的元素，“包含”在问一个集合的每个元素是否都属于另一集合。例如 $\varnothing\in\{\varnothing\}$ 与 $\varnothing\subseteq\{\varnothing\}$ 都成立，理由不同； $\{\varnothing\}\notin\{\varnothing\}$ ，因为右边唯一的元素是 $\varnothing$ 。

空集是任意集合的子集：要否定 $\varnothing\subseteq B$ ，必须找出一个属于空集而不属于 $B$ 的元素，而这样的元素不存在。包含关系满足自反性 $A\subseteq A$ 和传递性：若 $A\subseteq B\subseteq C$ ，则任取 $x\in A$ ，先得 $x\in B$ 再得 $x\in C$ ，所以 $A\subseteq C$ 。

证明相等应做双向包含，或对任意元素给出一条双向等价链。找到几个共同元素，只能证明交集非空，不能证明相等。

子集计数：全部、非空、真子集与区间约束

设有限集合 $A$ 有 $n$ 个元素。每个元素各有“取”“不取”两个独立选择，因此子集总数为 $2^n$ 。把空集和全集各自扣除，得到完整表：

种类	个数	条件
所有子集	$2^n$	$n\ge0$
非空子集	$2^n-1$	$n\ge0$
真子集	$2^n-1$	$n\ge0$
非空真子集	$2^n-2$	$n\ge1$
非空真子集	$0$	$n=0$

最后一行不能套 $2^n-2$ ，因为 $A=\varnothing$ 时空集与全集是同一个对象。

若指定 $r$ 个元素必须选、另有 $s$ 个元素必须不选，两组互不相交，则剩余 $n-r-s$ 个元素自由决定，共 $2^{n-r-s}$ 个子集；若必选与禁选名单相交，则无解。

进一步，设有限集 $A\subseteq B$ ， $d=|B\setminus A|$ 。每个 $A\subseteq X\subseteq B$ 唯一写成 $X=A\cup T$ ，其中 $T\subseteq B\setminus A$ ，所以有 $2^d$ 个。要求两端都严格时， $d\ge1$ 要去掉 $T=\varnothing$ 和 $T=B\setminus A$ ，共 $2^d-2$ 个； $d=0$ 时为零。

例如 $A=\{1,2\}$ 、 $B=\{1,2,3,4\}$ ，严格夹在两者之间的只有 $\{1,2,3\}$ 和 $\{1,2,4\}$ 。

先辨认集合中究竟放的是什么

描述法中先读大括号内的“代表元素”。例如

A=\{x\in\mathbb R:y=x^2\text{ 对某个 }y\in\mathbb R\text{ 成立}\},\quad B=\{y\in\mathbb R:y=x^2\text{ 对某个 }x\in\mathbb R\text{ 成立}\},

分别为 $\mathbb R$ 与 $[0,+\infty)$ ；而 $C=\{(x,y)\in\mathbb R^2:y=x^2\}$ 是平面上的点集。三个式子虽然都有 $y=x^2$ ，元素类型却不同。

列举有限集时要检查元素是否重复；判断数能否作元素时，要检查确定性。例如“所有很大的数”没有给出统一标准，不能据此判断一个数是否属于这个集合。常用数集满足 $\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R$ ，本手册的 $\mathbb N$ 包含 $0$ 。

对象层次与重复书写

$0$ 是一个数， $\{0\}$ 是以这个数为唯一元素的集合。类似地， $\varnothing$ 是空集，而 $\{\varnothing\}$ 是以空集为唯一元素的集合。判断属于或包含时，应先说清正在讨论哪一层对象。

列举式中重复书写的值只计一次。因此一个写成 $\{u,v,w\}$ 的集合至多有三个元素；只有另有两两不等条件时，才能断言它恰有三个元素。含参数集合求解时，不能未经题目授权就排除 $u=v$ 的情形。

例：参数与空集

设 $A=\{x\in\mathbb R:x^2=a\}$ ，求 $A\subseteq\{1\}$ 的条件。

当 $a<0$ 时， $A=\varnothing$ ，包含关系成立。 $a=0$ 时 $A=\{0\}$ ，不成立。 $a>0$ 时两根互为相反数，不能都等于 $1$ 。故恰有 $a<0$ 。

例：区间包含关系中的空集与端点

设 $A=[-1,2)$ ， $B=\{x\in\mathbb R:a<x\le1\}$ ，求 $B\subseteq A$ 的参数范围。

(1) 当 $a\ge1$ 时，两个条件 $x>a$ 与 $x\le1$ 不可能同时满足， $B=\varnothing$ ，包含关系自动成立。

(2) 当 $a<1$ 时， $B=(a,1]$ 非空。右端点 $1$ 已在 $A$ 中；为使左侧不伸到 $-1$ 以下，必须且只需 $a\ge-1$ 。特别地， $a=-1$ 允许，因为 $B$ 不取左端点。

合并得到 $a\in[-1,+\infty)$ 。不能只在非空情形求出 $[-1,1)$ 后就结束。

参数集合：退化、重合和区间端点都要检查

单元素解集不一定来自二次方程重根。 若 $\{b\}=\{x\in\mathbb R:ax^2-4x+1=0\}$ ，应先分首项系数： $a=0$ 时是一元一次方程， $b=1/4$ ； $a\ne0$ 时须判别式 $16-4a=0$ ，所以 $a=4,b=1/2$ 。两种情况都符合原集合条件。

列举式的几个位置可以取到同一个值。 若有理数 $a,b$ 满足 $\{1,a+b,a\}=\{0,a/b,b\}$ ，先有 $b\ne0$ 。因左边须含零，分两种：

(1) $a=0$ 。右边为 $\{0,b\}$ ，要含 $1$ 必须 $b=1$ ，代回两边都为 $\{0,1\}$ 。

(2) $a+b=0$ 。此时 $a=-b,b\ne0$ ，右边为 $\{0,-1,b\}$ ，要含 $1$ 必须 $b=1$ ，得到 $a=-1$ ，两边都为 $\{-1,0,1\}$ 。

所以按题面集合等式有 $(a,b)=(0,1),(-1,1)$ 两组。只有题目明确说“两边都是三元集”，才能排除第一组；“集合元素互异”不等于“列举表达式的值不得重合”。

含参数闭区间的包含。 若

A=\left\{x:\left|x-\frac{(a+1)^2}{2}\right|\le\frac{(a-1)^2}{2}\right\},

B=\{x:x^2-3(a+1)x+2(3a+1)\le0\},

则 $A=[2a,a^2+1]$ ，且 $x^2-3(a+1)x+2(3a+1)=(x-2)(x-(3a+1))$ 。

当 $a\ge1/3$ ， $B=[2,3a+1]$ ，包含要求 $2a\ge2$ 且 $a^2+1\le3a+1$ ，解得 $1\le a\le3$ 。当 $a<1/3$ ， $B=[3a+1,2]$ ，要求 $2a\ge3a+1$ 且 $a^2+1\le2$ ，解得 $a=-1$ 。故 $A\subseteq B$ 当且仅当 $a\in\{-1\}\cup[1,3]$ 。排序端点的分界 $a=1/3$ 和退化区间 $a=1$ 都已纳入检查。

由像集与交并信息反求有限数集

设 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ ，各 $a_i$ 为整数且 $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$ ；令 $B=\{a_1^2,\ldots,a_5^2\}$ 。已知 $A\cap B=\{a_1,a_4\}$ 、 $a_1+a_4=10$ ，以及 $A\cup B$ 中元素之和为 $224$ 。

因为交集中的数属于平方像集， $a_1,a_4$ 非负，进而 $A$ 全部非负。若 $a_1\ge2$ ，则每个平方至少为 $a_1^2>a_1$ ，与 $a_1\in B$ 矛盾。所以 $a_1=0$ 或 $1$ 。若 $a_1=0$ ，则 $a_4=10$ ，但 $10$ 不可能是整数平方，故 $a_1=1,a_4=9$ ，并且 $3\in A$ 。

$A$ 中元素均非负且互异，平方映射在其上为单射，故 $B$ 也有五个互异元素。对交并的元素和用容斥：

\sum_{x\in A}x+\sum_{x\in B}x =\sum_{x\in A\cup B}x+\sum_{x\in A\cap B}x=234.

扣去 $a_1,a_4$ 的一次、二次项，得到

(a_2^2+a_2)+(a_3^2+a_3)+(a_5^2+a_5)=234-(1+1+9+81)=142.

$a_5\ge10$ ，若 $a_5\ge12$ ，仅其贡献就超过 $142$ ；若 $a_5=11$ ，余下贡献为 $10$ ，但 $a_2\ge2,a_3\ge3$ 已至少贡献 $6+12=18$ ，也不可能。因此 $a_5=10$ ，余下为 $32$ 。其中一个数为 $3$ ，贡献 $12$ ，另一个数满足 $t^2+t=20$ 且为正整数，故为 $4$ 。

于是 $A=\{1,3,4,9,10\}$ 。逐项平方得 $B=\{1,9,16,81,100\}$ ，交集及并集元素和都符合条件，完成验证。这里先确认平方映射没有重合，再使用元素和公式；对含正负相反数的一般集合不能跳过这一步。

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同主题：集合运算与韦恩图。