样本空间、事件与概率模型

概率计算依赖模型，必须先说明什么结果等可能，不能仅凭结果类别数量取比例。

随机试验、样本空间与事件

一次随机试验的所有可能结果组成样本空间，记作 $\Omega$ 。其中每个基本结果称为样本点。事件是样本空间的子集：试验结果落在这个子集内，就称事件发生。

例如掷一枚骰子，可取 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ；事件“出现偶数”为 $A=\{2,4,6\}$ 。必然事件为 $\Omega$ ，不可能事件为空集 $\varnothing$ 。

事件运算	含义
$A\cap B$	两事件同时发生
$A\cup B$	至少一个发生，包括同时发生
$A^c=\Omega\setminus A$	$A$ 不发生
$A\setminus B$	$A$ 发生且 $B$ 不发生

$A\cap B=\varnothing$ 时称两事件互斥；若还满足 $A\cup B=\Omega$ ，则互为对立事件。互斥不要求它们覆盖全部结果。

概率与基本运算法则

概率 $P(A)$ 描述事件发生的可能程度。有限模型中，给每个样本点赋非负概率，使其总和为 $1$ ，事件概率为所含样本点的概率之和。因此

0\le P(A)\le1,\qquad P(\Omega)=1,\qquad P(\varnothing)=0.

互斥事件没有重复样本点，所以概率可相加。 $A$ 与 $A^c$ 互斥且并为全集，故 $P(A^c)=1-P(A)$ 。一般地， $P(A)+P(B)$ 把交集计算了两次，减去一次得

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

古典概型与几何概型

若样本空间有限且各样本点等可能，则每点概率为 $1/|\Omega|$ ，从而

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.

有限性和等可能性缺一不可。把基本结果合并成类别后，各类不一定等可能，不能直接按类别数作比。

几何概型还需规定相对于什么量均匀。例如点在有限面积区域内均匀选取，事件概率才是相应区域的面积比。不同的随机选择方式可能产生不同分布，不能仅凭图形断言“均匀”。频率可以用于估计概率，但一次有限试验中的频率并不等于概率的定义值。

例

两枚公平骰子独立掷出， $36$ 个有序点数组合等可能。点数和为 $7$ 的组合有 $6$ 个，所以概率为 $1/6$ 。点数和虽然有 $2$ 到 $12$ 共 $11$ 类，却不等可能。

几何例子

两人各自独立、均匀地在一小时内到达，先到者等待 $20$ 分钟。以到达分钟数为坐标，样本空间为 $[0,60]^2$ ，相遇条件 $|x-y|\le20$ ，概率为 $1-2\cdot(40^2/2)/60^2=5/9$ 。

易错点

连续模型中单点概率可为零，但该点并非逻辑上不可能取到。互斥与独立是不同概念。

例：等可能的是有序结果，不是点数和

独立地同时掷两枚公平骰子，可用有序数对 $(i,j)$ 表示结果，其中 $1\le i,j\le6$ 。共有 $36$ 个等可能样本点。

点数和为 $7$ 的结果是 $(1,6),(2,5),\ldots,(6,1)$ ，所以概率为 $6/36=1/6$ 。点数和为 $2$ 则只有 $(1,1)$ ，概率为 $1/36$ 。虽然点数和共有 $2,3,\ldots,12$ 这 $11$ 种数值，它们并不等可能，不能一律赋概率 $1/11$ 。

建模顺序应是先明确实验和等可能的基本结果，再数事件所占的结果。若只记录汇总后的数值，仍可以作为样本空间，但必须为不同数值配置正确权重。

互斥、对立和独立怎样区分

掷一枚骰子，事件 $A=\{1\}$ 、 $B=\{2\}$ 互斥，但不对立，因为还有 $3,4,5,6$ ； $A$ 的对立事件是 $\{2,3,4,5,6\}$ 。

互斥描述不能同时发生，独立描述 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 。若 $P(A)>0$ 、 $P(B)>0$ 且二者互斥，则左边为 $0$ 、右边为正数，必不独立。反过来，掷两枚独立骰子，“第一枚为偶数”与“第二枚为偶数”独立，却可以同时发生。

对“至少一个”常用对立事件：三次独立试验成功率均为 $p$ ，至少成功一次的概率为 $1-(1-p)^3$ 。先确认独立性，才能把三次失败概率相乘。

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先修：集合运算与韦恩图 · 分类、分步与计数对象。

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随机试验、样本空间与事件

一次随机试验的所有可能结果组成样本空间，记作

\Omega

。其中每个基本结果称为样本点。事件是样本空间的子集：试验结果落在这个子集内，就称事件发生。

例如掷一枚骰子，可取

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

；事件“出现偶数”为

A=\{2,4,6\}

。必然事件为

\Omega

，不可能事件为空集

\varnothing

。

事件运算

含义

A\cap B

两事件同时发生

A\cup B

至少一个发生，包括同时发生

A^c=\Omega\setminus A

A

不发生

A\setminus B

A

发生且

B

不发生

A\cap B=\varnothing

时称两事件互斥；若还满足

A\cup B=\Omega

，则互为对立事件。互斥不要求它们覆盖全部结果。

概率与基本运算法则

概率

P(A)

描述事件发生的可能程度。有限模型中，给每个样本点赋非负概率，使其总和为

1

，事件概率为所含样本点的概率之和。因此

0\le P(A)\le1,\qquad P(\Omega)=1,\qquad P(\varnothing)=0.

互斥事件没有重复样本点，所以概率可相加。

A

与

A^c

互斥且并为全集，故

P(A^c)=1-P(A)

。一般地，

P(A)+P(B)

把交集计算了两次，减去一次得

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

古典概型与几何概型

若样本空间有限且各样本点等可能，则每点概率为

1/|\Omega|

，从而

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.

有限性和等可能性缺一不可。把基本结果合并成类别后，各类不一定等可能，不能直接按类别数作比。

互斥、对立和独立怎样区分

掷一枚骰子，事件

A=\{1\}

、

B=\{2\}

互斥，但不对立，因为还有

3,4,5,6

；

A

的对立事件是

\{2,3,4,5,6\}

。

互斥描述不能同时发生，独立描述

P(A\cap B)=P(A)P(B)

。若

P(A)>0

、

P(B)>0

且二者互斥，则左边为

0

、右边为正数，必不独立。反过来，掷两枚独立骰子，“第一枚为偶数”与“第二枚为偶数”独立，却可以同时发生。

对“至少一个”常用对立事件：三次独立试验成功率均为

p

，至少成功一次的概率为

1-(1-p)^3

。先确认独立性，才能把三次失败概率相乘。