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导数、变化率与切线

基础更新于 2026-09-29

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平均变化率描述一段区间上的变化；导数描述区间缩到一点时的瞬时变化率。

导数所需的极限与连续性

趋近值与函数在一点的值

设函数 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。“去心”表示不要求 $x=x_0$ 处有定义。若对任意 $\varepsilon>0$ ，都能找到 $\delta>0$ ，使

0<|x-x_0|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-A|<\varepsilon,

就称 $A$ 为 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限，记作 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ 。这里 $\delta$ 可以依赖所要求的精度 $\varepsilon$ ，但选定后须对这个邻域内的所有 $x$ 有效。它表达的是：只要输入足够接近 $x_0$ ，输出就能达到任意指定的接近程度。

把条件改为 $0<x-x_0<\delta$ ，得到右极限；改为 $0<x_0-x<\delta$ ，得到左极限。双侧极限存在当且仅当左右极限均存在且相等：双侧条件限制到一侧即可得到必要性；反过来取两侧所需 $\delta$ 的较小者即可。

当 $x\to+\infty$ 时，把输入条件改成 $x>M$ ；当 $x\to-\infty$ 时改成 $x<-M$ ，其中 $M>0$ 可随 $\varepsilon$ 选择。这里讨论的极限值 $A$ 都是有限实数。

极限唯一。 若 $A\ne B$ 都是极限，取 $\varepsilon=|A-B|/3$ ，在两个要求同时成立的邻域内，有

|A-B|\le |A-f(x)|+|f(x)-B|<2|A-B|/3,

矛盾。

四则运算法则及证明

若 $u\to a,v\to b$ ，且 $c$ 为常数，则

u+v\to a+b,\quad u-v\to a-b,\quad cu\to ca,\quad uv\to ab,

\frac uv\to\frac ab\qquad(b\ne0).

这些法则对数列极限、左右极限及无穷远处的有限极限同样成立。以下证明说明各条件的作用。

和、差由误差估计 $|(u\pm v)-(a\pm b)|\le|u-a|+|v-b|$ 得到：让两项误差各小于 $\varepsilon/2$ 。常数倍的误差为 $|c|\,|u-a|$ ； $c=0$ 时直接成立。

对乘积，先限制 $|u-a|<1$ ，于是 $|u|\le|a|+1$ ，再用

|uv-ab|\le |u|\,|v-b|+|b|\,|u-a|.

使 $|v-b|<\varepsilon/[2(|a|+1)]$ ，并使 $|u-a|<\varepsilon/[2(|b|+1)]$ ，右侧便小于 $\varepsilon$ 。

对倒数，由 $b\ne0$ ，可先限制 $|v-b|<|b|/2$ ，保证 $|v|>|b|/2$ 。于是

\left|\frac1v-\frac1b\right|=\frac{|v-b|}{|v|\,|b|}\le\frac{2|v-b|}{|b|^2}\longrightarrow0.

再用乘积法则即得商法则。分母极限为零时不能套此结论； $0/0$ 只是法则不能直接判定的形式，并非一个数。

夹逼与连续性

若在足够接近目标的位置上 $u\le v\le w$ ，且 $u,w$ 都趋于 $A$ ，则 $v\to A$ 。给定 $\varepsilon>0$ ，让 $A-\varepsilon<u\le v\le w<A+\varepsilon$ 同时成立即可。这就是夹逼准则。

函数在 $x_0$ 连续，是指 $f(x_0)$ 有定义，且 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 。因此“存在极限”与“连续”并不相同。例如 $(x^2-1)/(x-1)$ 在 $x\to1$ 时极限为 $2$ ，但原函数在 $1$ 处没有定义；若补定义 $f(1)=2$ ，才在该点连续。闭区间端点的连续性按区间内的单侧趋近理解。

导数以差商的有限极限定义，具体见本篇的导数定义。这里建立所需的基本法则；积分、无穷级数和一般极限计算体系不在本篇展开。

用数列检验函数极限：海涅定理

设 $f$ 在 $a$ 的某个去心邻域内有定义， $L\in\mathbb R$ 。则

\lim_{x\to a}f(x)=L

当且仅当：对每一个满足 $x_n\to a$ 、 $x_n\ne a$ 、各项在函数定义域内的数列，都有 $f(x_n)\to L$ 。这里的“每一个”不可改成“找到一个”；沿一条选定的数列趋近不能代表所有趋近方式。

必要性证明。 给定 $\varepsilon>0$ ，由函数极限取到 $\delta>0$ 。再由 $x_n\to a$ ，取 $N$ 使 $n>N$ 时 $0<|x_n-a|<\delta$ ，于是 $|f(x_n)-L|<\varepsilon$ 。

充分性证明。 若函数极限不是 $L$ ，则存在固定的 $\varepsilon_0>0$ ，使任意小的去心邻域中都有点 $x$ 满足 $|f(x)-L|\ge\varepsilon_0$ 。依次在半径为 $1/n$ （并限制在给定定义邻域内）的去心邻域选取这样的 $x_n$ ，便有 $x_n\to a$ ，但所有 $|f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0$ ，与假设矛盾。

如何使用。 要否定函数极限存在，只需找到两列输入均趋于 $a$ 而输出趋于不同值。例如 $f(x)=\sin(1/x)$ ：取 $x_n=1/(2n\pi+\pi/2)$ 与 $y_n=1/(2n\pi+3\pi/2)$ ，两列均趋于零，但函数值分别恒为 $1$ 与 $-1$ ，所以零点处极限不存在。用一列输出不收敛的输入数列也足以否定极限存在。

单侧极限只需将数列限制在相应一侧；无穷远处的版本将 $x_n\to a$ 改为 $x_n\to+\infty$ 或 $-\infty$ ，证明中的邻域也相应换成尾部区间。

从平均变化率到导数

设函数 $f$ 在 $x_0$ 附近有定义。自变量由 $x_0$ 变为 $x_0+h$ 时，函数值的改变量为 $f(x_0+h)-f(x_0)$ 。当 $h\ne0$ 时，商

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h

称为这段变化中的平均变化率。几何上，它是连接图像上两点 $(x_0,f(x_0))$ 、 $(x_0+h,f(x_0+h))$ 的割线斜率。

若 $h$ 从正、负两侧趋近零时，这个差商趋于同一个有限数，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，该数称为导数，记作

f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.

这里的极限表示差商的趋近值，不是把 $h=0$ 直接代入分式。两侧趋近值不同，或者差商不趋于有限数，都不能据此得到有限导数。

当 $x_0$ 变化时，各点导数组成导函数 $f'$ 。 $f'(x_0)$ 是一个数， $f'$ 是一个函数，二者需要区分。本篇先给出极限与连续性的基础，再用它们解释差商的趋近过程。

可导与连续

在 $x_0$ 连续，表示 $x$ 趋于 $x_0$ 时 $f(x)$ 趋于实际函数值 $f(x_0)$ 。可导必连续，因为

f(x_0+h)-f(x_0)=h\cdot\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h,

右侧第一因子趋于零，第二因子趋于有限导数，所以函数值增量趋于零。

反过来，连续未必可导。 $f(x)=|x|$ 在零点连续，但差商为 $|h|/h$ ：从右侧趋近时为 $1$ ，从左侧趋近时为 $-1$ ，两者不同，因此零点不可导。

切线与瞬时变化率

在可导点 $(x_0,f(x_0))$ ，切线斜率为 $f'(x_0)$ ，方程是

y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).

若 $f(t)$ 表示位置随时间的变化，导数对应瞬时速度。切线的斜率可以为零；竖直切线没有有限斜率，不能直接使用上述有限导数公式。

基本极限与等价替换的适用范围

由基本导数的证明中采用的基础极限及导数公式，弧度制下有

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1.

后两式也分别是 $e^x$ 在 $0$ 处、 $\ln x$ 在 $1$ 处的导数定义；若正在用这些极限建立导数公式，应把相应极限作为先修，不能倒过来循环证明。

若在同一趋近过程中 $g(x)\ne0$ 且 $f(x)/g(x)\to1$ ，称 $f,g$ 渐近等价，记为 $f\sim g$ 。二者都趋于零时称为等价无穷小。若 $f\sim g$ 、 $u\sim v$ ，在分母均非零的邻域内，

\frac{fu}{gv}=\frac fg\frac uv\to1,\qquad \frac{f/u}{g/v}=\frac{f/g}{u/v}\to1.

所以乘除中的等价替换有明确依据。加减中主项可能抵消，不能直接照搬。例如 $f=x+x^2\sim x$ ，但

\frac{f-x}{x^2}=1,

若把分子里的 $f$ 直接换为 $x$ ，就会错误地得到零。应先通分、因式分解或保留相消后的真实项。

计算极限时，先检查连续性代入；若出现未定形式，再尝试因式分解、通分、有理化或比较最高次项。这些操作仍须保留去心邻域中的分母非零条件。

伸缩差商的统一极限

设 $f$ 在 $x_0$ 可导， $a,b,c$ 为实常数且 $c\ne0$ ，则

\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ah)-f(x_0+bh)}{ch}=\frac{a-b}{c}f'(x_0).

证明时先在分子加减 $f(x_0)$ 。若 $a\ne0$ ，第一项写成

\frac ac\frac{f(x_0+ah)-f(x_0)}{ah}\longrightarrow\frac acf'(x_0).

若 $a=0$ ，这一项恒为零；含 $b$ 的项同样处理，再相减即可。因此 $a,b$ 可以为零，也可以相等，只有分母系数 $c$ 必须非零。用定义识别极限时，分子中的增量和分母的尺度必须同时换算。

例：从定义计算

$f(x)=x^2$ 时，差商为 $[(x_0+h)^2-x_0^2]/h=2x_0+h$ ，故 $f'(x_0)=2x_0$ 。

图像在 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线为 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ 。在 $x_0=1$ 处得到 $y=2x-1$ 。

在指定点的切线与经过指定点的切线

曲线 $y=x^2$ 在横坐标为 $t$ 的点处，切线为 $y=2tx-t^2$ 。“在 $(1,1)$ 处”切线对应 $t=1$ ，得到 $y=2x-1$ 。

若要求切线“经过 $(0,-1)$ ”，则该点不必是切点。代入切线式得 $-1=-t^2$ ，所以 $t=\pm1$ ，两条切线为 $y=2x-1$ 与 $y=-2x-1$ 。一般经过 $(u,v)$ 的切线应解 $v=f(t)+f'(t)(u-t)$ ，最后写出并合并相同的直线；不同切点有时对应同一条公切线，不能一概把切点数当作直线数。

易错点

求“在点处的切线”时点必须在曲线上；求“过某点的切线”时给定点可能不是切点，应另设切点参数。差商中的 $h$ 不为零，化简后才研究趋近过程。

关联阅读

先修：函数、定义域与值域 · 函数零点、交点与参数。

同主题：基本导数与复合求导。