抽象函数、赋值与迭代

函数方程的未知量是整个函数。给特殊输入可以得到约束，但少量点值不一定决定全部实数上的函数。

函数方程的知识框架：赋值、代换与归纳

含未知函数的等式称函数方程。求解对象是函数的全部合法输入和输出规则，不能只求几个点的值。

三种基本方法是：赋值法选择定义域允许的特殊输入，使一个函数值出现或相消；代换法对输入作平移、反射、缩放、互换等操作，把得到的等式联立；归纳法把某点或某类输入的结论逐步推广到整数倍、迭代层数等离散范围。代换不能离开原来量词覆盖的范围；对整数的归纳不能自动推广到所有实数。

常见中间目标分别是：单射（相同输出推出相同输入）、满射（每个目标值有原像）、单调、周期、奇偶、不动点、定义域、值域及有界性。选择哪个性质取决于原等式，不能预设未知函数连续或为多项式。

完成求解分两步：从原等式推出所有可能候选的必要形式；把候选连同其定义域代回，验证原来的全部输入与附加条件。否则只能得到必要条件，不能声称已给出全部解。

加法函数：从特殊赋值到有理数，再到实数

设 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 满足

f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad(x,y\in\mathbb R).

取 $x=y=0$ 得 $f(0)=0$ ；取 $y=-x$ 得 $f(-x)=-f(x)$ 。对正整数 $n$ ，反复相加或归纳得 $f(nx)=nf(x)$ ；再结合奇性，该式对负整数和零也成立。

若 $r=p/q$ ，其中 $p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N_+$ ，则

qf(p/q)=f(p)=pf(1),

所以 $f(r)=rf(1)$ 。这个论证逐一覆盖全部有理数，不依赖连续性。

单调性怎样把结论推广到实数

若 $f$ 非减，记 $c=f(1)\ge0$ 。给定实数 $x$ ，选有理数列 $r_n\le x\le s_n$ ，使两者都趋于 $x$ 。单调性给出

cr_n=f(r_n)\le f(x)\le f(s_n)=cs_n.

左右两端均趋于 $cx$ ，故 $f(x)=cx$ 。若 $f$ 非增，对 $-f$ 使用同一论证即可。

若改为已知 $f$ 在零处连续，也能完成推广：取有理数 $r_n\to x$ ，有

f(x)-cr_n=f(x-r_n)\longrightarrow f(0)=0,

仍得 $f(x)=cx$ 。每个 $f(x)=cx$ 都满足原加法关系，回代便完成充分性检验。

缺少这些足够的附加条件时，只由有理点上的公式不能推出所有实数点上的公式。

迭代与例子

$f^{\circ2}(x)=f(f(x))$ 表示二次迭代。满足 $f(a)=a$ 的点是不动点；满足 $f^{\circ k}(a)=a$ 的点可能有更小周期。

对 $f(x)=1-x$ ，不动点只有 $1/2$ ，但 $f^{\circ2}(x)=x$ 对所有实数成立，其他点的最小周期为 $2$ 。这说明解 $f(f(x))=x$ 不能只解 $f(x)=x$ 。

两条递增一次函数有相同的整数原像

设 $f,g$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的递增一次函数，并且对每个实数 $x$ ， $f(x)$ 为整数当且仅当 $g(x)$ 为整数。因为 $f$ 为双射，可以令 $t=f(x)$ ，并写

h(t)=g(f^{-1}(t))=\alpha t+\beta,\qquad\alpha>0.

原条件变成 $h(t)\in\mathbb Z\iff t\in\mathbb Z$ 。取 $t=0,1$ ，知 $\beta$ 与 $\alpha+\beta$ 都是整数，故 $\alpha$ 是正整数。

再取 $t=1/\alpha$ ，有 $h(t)=1+\beta\in\mathbb Z$ ，反向条件迫使 $1/\alpha\in\mathbb Z$ 。正整数 $\alpha$ 及其倒数同时为整数，只能 $\alpha=1$ 。因此 $g(x)=f(x)+\beta$ ，其中 $\beta\in\mathbb Z$ ，从而 $f(x)-g(x)$ 恒为整数。

证明使用了“当且仅当”的两个方向；只给“ $f(x)$ 为整数就有 $g(x)$ 为整数”时， $g=2f$ 就是反例，不能推出整数常差。

先代入相同变量，再结合有限集上的严格单调

设 $n>1$ ， $f$ 定义在 $\{1,2,\ldots,n\}$ 上且严格递增，对所有 $x,y$ 都有

\frac{f(x)}{f(y)}=f(x)f(y).

等式包含除法，先得到每个 $f(y)\ne0$ 。令 $x=y$ ，即 $1=f(y)^2$ ，故值域包含于 $\{-1,1\}$ 。严格递增保证不同自变量取不同值，因此 $n\le2$ 。结合 $n>1$ 得 $n=2$ ，并强制 $f(1)=-1,f(2)=1$ 。反过来，这两个值均满足 $1/f(y)=f(y)$ ，所以原式对全部四对输入成立。

这里“先令两个变量相等”把双变量函数方程化为对每个函数值的约束；最后还须验证候选确实满足全部输入。

易错点

离散输入上的递推关系不能直接视为所有实数上的函数方程。代换之前要保证每个代入值均在允许的定义域中。

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函数方程的范围与验解。

先修：复合函数与反函数 · 单调性、奇偶性、周期与对称。

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