学习路线

知识目录描述主题归属，学习路线描述阅读顺序。拓展文章可以按先修关系穿插，不要求第一轮全部读完。

高中主干

1. 从实数与绝对值、恒等变形及集合起步，补齐运算与语言。
2. 学习二次专题、函数和基本不等式，理解定义域、图像与条件。
3. 学习三角函数、平面向量、复数基础。反三角、三角求和与单位根可后置。
4. 学习数列的基础三篇；根据课程进度学习导数的前四篇。
5. 学习解析几何与立体几何，将方程、向量与图形互相对应。
6. 学习计数、概率和统计。条件概率先于分布辨认，期望方差先于抽样波动与回归。
7. 将数学思想与证明方法贯穿上述主题，而不是最后集中背诵。

拓展深化

• 代数线：多项式点值与插值 → 复数开方与单位根 → 二阶递推。
• 函数线：复合与反函数 → 抽象函数与迭代 → 导数构造。
• 不等式线：数量积 → 柯西 → 排序 → 凸性 → 放缩与齐次化。
• 几何线：直线与圆锥曲线 → 焦点与准线 → 参数与轨迹 → 定值与最值。
• 计数概率线：受限排列 → 隔板与分配 → 容斥与递推 → 有限系数计数 → 等待状态。

这些路线不进入竞赛几何、初等数论、组合构造或高等数学。

本轮新增的详细阅读支线

• 不等式：加权均值之后读赫尔德与闵可夫斯基，再读反向估计；学过对称式后读舒尔与调整，最后选读优超与米尔黑德。
• 函数与代数：对称推周期 → 迭代与反函数交点；根的分布 → 插值估值。
• 数列：递推换元 → 耦合与前缀和消元 → 非齐次与高阶入口 → 阿贝尔变换。
• 三角与几何：需要时补平面几何先修，再读三角换元、三角形不等式、空间射影和四面体球模型。
• 导数与概率：对数均值和极值点偏移使用一阶导数；有限概率不等式在期望方差之后阅读。

“详细收录”不要求学生第一轮全部学习；文章的先修条件和拓展标记帮助选择顺序。

教师备课

1. 用术语索引找到主条目，先核对学生已掌握的先修知识。
2. 选取定义或定理的完整知识块，保留适用条件和等号条件。
3. 从同篇文章选择推导、一个基本例子和必要反例，按课堂目标组合。
4. 强基课程可补拓展条目，避免在主干讲义中无提示地引入后续方法。
5. 当前可手动复制数学正文；自动转TeX与网页展示后续建设。不要把当前Markdown注释直接当成LaTeX命令。

阅读中的检查

能否复述结论条件？能否说明例子为何选该方法？去掉某项条件是否仍成立？换一个边界值后证明是否还有效？这些问题比只记住公式更能判断是否理解。

一试讲义阅读入口

先读高中主干，再读值域、递推不变量和概率状态方法；对照表中的“待核对”不是“范围外”。

外部教材补充：函数与解析几何

• 函数：先读图像变换，再读绝对值和；学过导数后读分式和的零点交错。
• 解析几何：在切线与焦点准线之后读极点极线。这是坐标方法拓展，第一遍主干学习可以后置。

第二轮新增的深化入口

• 实数与代数：有理性证明 → 二次根式 → 有理根判定 → 二元二次式。
• 函数与估计：方程验解 → 取大函数与一致最值 → 顶点法。
• 数列与证明：有限和放缩 → 归纳法变式。
• 几何的代数方法：度量恒等式 → 坐标旋转 → 焦弦 → 曲线系 → 切线角平分性质。
• 复数：复数轨迹与最值。

第二轮新增入口补充

• 代数：小数表示与循环 → 三次方程。
• 复数与几何：复数坐标法 → 切线构造 → 弦的定值关系。
• 空间坐标：叉积与体积 → 三面角。
• 距离模型：曼哈顿距离，可在学完绝对值分段之后独立阅读。

拓展条目按先修选择，不要求第一轮高中主干学习同时掌握所有内容。

基础知识的完整算例路线

第一次学习时，可先沿下面几条短路线读完整过程，再回看公式：

• 集合区间与空集 → 量词和参数 → 定义域 → 分段函数。
• 三角相位与方程 → 解三角形与SSA两解 → 向量投影。
• 数列首项与前缀和 → 求和算例 → 递推的建模与换元。
• 切线的两类问题 → 导数符号表 → 参数改变极值点。
• 圆的距离与弦长 → 圆锥曲线联立计算；空间表示与建系 → 距离与夹角。
• 条件概率与贝叶斯 → 分布列与数字特征 → 分组数据 → 合并方差 → 回归计算 → 列联表检验。

拓展的蒙日圆、抽象函数正则条件和切线迭代可放到相应主干学完之后；无需为了读懂基本算例先学这些拓展。

多项式的分层路线

初升高可从概念与运算、因式分解基本方法、带余除法读起，再学习根与重数的基础部分及二次、三次韦达公式。

随后进入对称式、幂和、根分布和插值；复数分解、导数判重根和一致最值按文中依赖单独进阶。完整路线见多项式目录。