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常见几何体的定义与结构

基础更新于 2026-09-29

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识别几何体时，先看定义是否满足，再使用该类几何体的性质。底面是正多边形，不足以单独保证一个棱柱或棱锥为“正”。

棱柱及其特殊类型

棱柱由一个多边形沿不平行于其所在平面的方向平移形成。两底面全等且平行；侧面为平行四边形；各侧棱平行且等长。高是两底面之间的垂直距离，斜棱柱的侧棱长通常大于高。

直棱柱：侧棱垂直底面，侧面都是矩形。
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱。
平行六面体：底面为平行四边形的四棱柱，六个面都是平行四边形。
直平行六面体：侧棱垂直底面的平行六面体；底面仍可以不是矩形。
长方体：底面为矩形的直平行六面体。
正方体：三种棱长相等的长方体。

平行六面体的四条体对角线共中点：取一个顶点为原点，三条相邻棱向量为 $\boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w$ ，每对相对顶点的位置向量之和都是 $\boldsymbol u+\boldsymbol v+\boldsymbol w$ 。因此公共中点为其一半。一般平行六面体的体对角线不必等长；长方体的体对角线才都等于 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ 。

棱锥、正棱锥与棱台

棱锥由一个平面多边形及该平面外一点构成，顶点与底面各顶点相连；各侧面为三角形。

正棱锥的底面为正多边形，顶点在底面的垂足为底面中心。因此侧棱等长，侧面为全等的等腰三角形，各侧面底边上的高相等，称为斜高。设正棱锥高为 $h$ ，底面外接圆、内切圆半径分别为 $R,r$ ，则侧棱长 $s$ 与斜高 $l$ 满足

s^2=h^2+R^2,\qquad l^2=h^2+r^2.

正三棱锥的底面是等边三角形，三条侧棱彼此相等，但未必与底边等长；正四面体另要求六条棱全部相等。

用平行于棱锥底面的平面截去锥顶，余下部分为棱台。其两底面相似，对应边平行，侧棱延长共点；从正棱锥截得正棱台，侧面为全等的等腰梯形。仅有两个平行且相似的面，不足以直接套用棱台结论，还要确认侧棱具有共同锥顶。

棱柱分类的区别与柱锥台公式汇总

四棱柱的特殊类型需要分别检查底面与侧棱：

底面条件	侧棱条件	名称
任意四边形	垂直底面	直四棱柱
平行四边形	不另限制	平行六面体
平行四边形	垂直底面	直平行六面体
矩形	垂直底面	长方体
正方形	垂直底面	正四棱柱
正方形	垂直底面且侧棱等于底边	正方体

所以正四棱柱未必是正方体。以下汇总面积与体积；几何体的定义、斜高与空间高的区别见前两节。

几何体	侧面积	全面积	体积
棱柱	各侧面面积之和；直棱柱为 $Ch$	$S_{\text{侧}}+2S$	$Sh$
棱锥	各侧面面积之和；正棱锥为 $Cl/2$	$S_{\text{侧}}+S$	$Sh/3$
棱台	各侧面面积之和；正棱台为 $(C_1+C_2)l/2$	$S_{\text{侧}}+S_1+S_2$	$h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})/3$

$C,C_1,C_2$ 是相应底面周长， $S,S_1,S_2$ 为底面积， $h$ 为空间高， $l$ 为正锥、正台的斜高。全面积包括所有实际底面与侧面。

侧面积公式由逐面三角形、梯形或矩形面积相加得到。棱台体积可由两个相似棱锥相减证明：设大锥高 $H$ ，小大线性比为 $t=\sqrt{S_1/S_2}$ ，则 $h=(1-t)H$ ，体积为 $S_2H(1-t^3)/3$ ；约去 $1-t$ 得到表中公式。棱柱 $Sh$ 、棱锥 $Sh/3$ 是高中基本体积定理。

例：正四棱锥的三种高度相关长度

正四棱锥底边长为 $2$ ，高为 $3$ 。正方形的外接圆半径为 $\sqrt2$ 、内切圆半径为 $1$ ，所以侧棱长为 $\sqrt{11}$ 、斜高为 $\sqrt{10}$ 。

侧面积为四个三角形面积之和，即 $4\times\frac12\times2\sqrt{10}=4\sqrt{10}$ ，体积为 $\frac13\times4\times3=4$ 。把侧棱或斜高代入体积公式中的高，会得到错误结果。面积与体积的通用公式见面积与体积。

直圆柱、直圆锥、直圆台与球

本手册的圆柱、圆锥、圆台默认是直旋转体。

矩形绕一边所在直线旋转得到直圆柱；母线长等于高，轴截面为矩形。
直角三角形绕一直角边旋转得到直圆锥；轴截面为等腰三角形，底半径 $r$ 、高 $h$ 、母线 $l$ 满足 $l^2=h^2+r^2$ 。
平行于直圆锥底面的截面截去锥顶得到直圆台；上下底半径 $R>r>0$ 、高 $h$ 、母线 $l$ 满足 $l^2=h^2+(R-r)^2$ ，轴截面为等腰梯形。
到定点距离等于 $R>0$ 的空间点构成球面，距离不大于 $R$ 的点构成球体。半圆弧绕其直径旋转生成球面，半圆面绕其直径旋转生成球体。

平面距球心为 $d$ ： $d<R$ 时截面是半径 $\sqrt{R^2-d^2}$ 的圆面， $d=R$ 时只有一个切点， $d>R$ 时无交点。截面圆心是球心在截面上的垂足。

圆柱、圆锥、圆台与球的完整公式表

平面图形绕所在平面内定直线旋转所得的几何体称旋转体，定直线为轴。矩形绕一边旋转生成直圆柱，直角三角形绕直角边生成直圆锥，直角梯形绕垂直于底的腰生成直圆台；半圆面绕直径生成球体，半圆弧绕直径生成球面。圆柱、圆锥、圆台侧面上的直线段称母线；圆柱母线平行轴，圆锥母线通过顶点，圆台母线延长后通过原锥顶。

下表半径均为正， $h$ 为空间高， $l$ 为母线长。

几何体	母线与高	侧面积	全面积或球面面积	体积
圆柱	$l=h$	$2\pi rl$	$2\pi r(l+r)$	$\pi r^2h$
圆锥	$l^2=h^2+r^2$	$\pi rl$	$\pi r(l+r)$	$\pi r^2h/3$
圆台	$l^2=h^2+(r_2-r_1)^2$	$\pi(r_1+r_2)l$	$\pi(r_1+r_2)l+\pi(r_1^2+r_2^2)$	$\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)/3$
球，半径 $R$	不适用	不分侧面与底面	$4\pi R^2$	$4\pi R^3/3$

圆柱侧面展开为长 $2\pi r$ 、宽 $l$ 的矩形；圆锥展开为半径 $l$ 、弧长 $2\pi r$ 的扇形，面积为弧长乘半径的一半；圆台由相似圆锥侧面相减得侧面积，体积由台体公式代入两个圆面积得到。球面积与体积作为高中基本公式使用，不借助本版排除的积分工具推导。

球面与截面。 到球心 $O$ 距离等于 $R$ 的点组成球面，小于 $R$ 在内部，大于 $R$ 在外部，等于时不能误归外部。距球心 $d<R$ 的平面截球所得圆的半径为 $\sqrt{R^2-d^2}$ ，圆心是球心到平面的垂足； $d=0$ 为大圆， $0<d<R$ 为小圆； $d=R$ 相切成一点， $d>R$ 无交。

球面上两个不同且非对径的点确定唯一大圆；对径点通过无穷多大圆。球面距离是大圆劣弧长 $R\theta$ ， $\theta\in[0,\pi]$ 为对应球心角（弧度），不同于空间弦长 $2R\sin(\theta/2)$ 。对径点的最短球面距离为 $\pi R$ 。

凸多面体的欧拉关系与正多面体限制

凸多面体的顶点、棱、面数分别为 $V,E,F$ ，满足欧拉关系

V-E+F=2.

证明见空间基本元素与欧拉关系。它只计算多面体表面的构成，不能推出各面无限延伸后分割空间的区域数。

若每个面都是正 $p$ 边形，每个顶点恰有 $q$ 条棱相接，则数边面关联、边端点关联分别得 $pF=2E,qV=2E$ 。代入欧拉式，得到

\frac1p+\frac1q=\frac12+\frac1E>\frac12.

因 $p,q\ge3$ ，只有 $(p,q)=(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3)$ 五种可能，分别对应正四面体、正八面体、正六面体、正二十面体和正十二面体。这个计数给的是必要限制；五种构型确实存在是另一个几何事实，不能只靠整数不等式证明存在。

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