特殊多项式方程：倒数对称与四次配方

倒数多项式与换元的依据

若 $P(x)=a_0x^{2m}+a_1x^{2m-1}+\cdots+a_1x+a_0$，$a_0\ne0$，系数关于中间项对称，则 $x=0$ 不是根。除以 $x^m$ 后，各项可配成 $x^k+x^{-k}$。令 $t=x+1/x$，记 $U_k=x^k+x^{-k}$，则

证明。 展开 $(x+x^{-1})(x^k+x^{-k})$，得到 $U_{k+1}+U_{k-1}$。所以每个 $U_k$ 都是 $t$ 的多项式，且 $k\ge1$ 时恰为 $k$ 次、首项系数为一。前几项为

原来的 $2m$ 次方程便化为至多 $m$ 次的 $t$ 方程。对实数 $x\ne0$，反解 $x^2-tx+1=0$ 要求 $t^2\ge4$，所以只保留 $t\le-2$ 或 $t\ge2$；若 $x>0$ 则只保留后者。解出每个合法 $t$ 后，还要还原 $x=(t\pm\sqrt{t^2-4})/2$。$t=\pm2$ 时两解重合。

奇数次的对称系数多项式在 $x=-1$ 处为零：相对两项的指数奇偶相反，逐对相消。先提出 $x+1$，再考察余下的偶次结构。不要直接给奇数次式除以带分数指数的 $x^{n/2}$。

四次方程的辅助配方

本节讨论实系数四次方程。先除以首项系数，再平移未知数消去三次项，得到

若 $q=0$，直接令 $u=x^2\ge0$ 求解。若 $q\ne0$，寻找 $m>0$ 使

比较系数可取 $s=(p+m)/2$，并要求

该三次多项式在 $m=0$ 为 $-q^2<0$，足够大时为正，故至少存在一个正实根。选这样的 $m$ 后，两平方之差分解成两个二次式：

各自用二次方程求根，再还原平移即可。选 $m>0$ 保证所有辅助量在实数范围有意义；不能把辅助三次式的任意根都拿来开平方。

例如 $x^4-2x-1=0$ 有 $p=0,q=-2,r=-1$，辅助方程为 $m^3+4m-4=0$。这说明降次的原理；实际解题若已有整式因式分解或对称换元，应优先使用更简洁的结构。

具体地，对首一四次式 $y^4+By^3+Cy^2+Dy+E$，平移 $y=x-B/4$ 后，

这些量由有限展开得到。上述两平方相等是原方程的等价改写，随后用平方差分解，因此不会引入平方增根；但每个二次式是否有实根仍须分别检查判别式。