坐标轴旋转与二次曲线的交叉项

倾斜的椭圆或双曲线不一定需要复杂的新公式。选取与曲线对称轴一致的坐标轴，常能把带有 xy 项的方程化成熟悉的标准式。

转动坐标轴时的变换公式

保持原点不动，把原来的两条坐标轴一起逆时针转过 $\theta$ 。新横轴、纵轴的单位方向在旧坐标中分别是 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 、 $(-\sin\theta,\cos\theta)$ 。同一个点的新坐标为 $(X,Y)$ ，旧坐标为 $(x,y)$ ，于是

x=X\cos\theta-Y\sin\theta,\qquad y=X\sin\theta+Y\cos\theta.

反过来，

X=x\cos\theta+y\sin\theta,\qquad Y=-x\sin\theta+y\cos\theta.

代入验证得 $x^2+y^2=X^2+Y^2$ 。长度、角度及图形本身不变，改变的是描述同一个点的坐标。若还要换原点到 $(h,k)$ ，先用 $x-h,y-k$ 代替旧坐标，再旋转。

消去二次式的交叉项

对二次部分 $Ax^2+Bxy+Cy^2$ 代入旋转公式， $XY$ 的系数为

(C-A)\sin2\theta+B\cos2\theta.

选取 $\theta$ 使该式为零，即可消去交叉项。若 $A\ne C$ ，可取满足 $\tan2\theta=B/(A-C)$ 的角；若 $A=C,B\ne0$ ，可取 $\theta=\pi/4$ ；若 $A=C,B=0$ ，本来没有交叉项。

这里 $B$ 表示整个 $xy$ 项的系数。若原式写为 $Ax^2+2Hxy+Cy^2$ ，须先认出 $B=2H$ 。当原方程还有一次项时，旋转后通常仍需配方和平移，并检查是否为空集或退化图形。

例：倾斜椭圆的标准化

研究 $x^2-xy+y^2=1$ 。取 $\theta=\pi/4$ ，即 $x=(X-Y)/\sqrt2,y=(X+Y)/\sqrt2$ ，得到

\frac12X^2+\frac32Y^2=1,\qquad \frac{X^2}{2}+\frac{Y^2}{2/3}=1.

故长、短半轴分别为 $\sqrt2,\sqrt{2/3}$ ，焦半距为 $2/\sqrt3$ ，离心率为 $\sqrt{2/3}$ 。长轴是旧坐标中的 $y=x$ ，两个焦点为 $(\sqrt{2/3},\sqrt{2/3})$ 和它的相反点。

若只看 $x^2,y^2$ 的系数相等便判断是圆，就忽略了交叉项对轴向和轴长的影响。

转动点与转动坐标轴的区别

若坐标轴保持不动，实际把点 $(x,y)$ 绕原点逆时针转过 $\theta$ ，新点坐标是

(x\cos\theta-y\sin\theta,\ x\sin\theta+y\cos\theta).

若点保持不动而坐标轴转过同一角度，则新坐标使用反向公式 $(x\cos\theta+y\sin\theta,-x\sin\theta+y\cos\theta)$ 。判断符号时可用 $(1,0)$ 与 $\theta=\pi/2$ 检查：转动点后是 $(0,1)$ ；转动坐标轴后同一个点的坐标是 $(0,-1)$ 。

绕任意点 $P$ 旋转时，先对向量 $\overrightarrow{PQ}$ 使用旋转公式，再加回 $P$ 的位置向量。

一般二次曲线的分类与退化检查

一般二次方程

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,\qquad(A,B,C)\ne(0,0,0)

中， $B^2-4AC$ 称二次部分的判别式，不是整个方程的行列式。它在旋转坐标后保持不变，表示二次部分的类型，单凭其符号不能保证存在非退化实曲线。

旋转 $x=X\cos\theta-Y\sin\theta,y=X\sin\theta+Y\cos\theta$ 后，混合项系数为 $(C-A)\sin2\theta+B\cos2\theta$ ；选择其为零的 $\theta$ ，再平移配方，即可完整判断：

判别式	非退化实曲线类型	必须同时考虑的退化或空集
$B^2-4AC<0$	椭圆，含圆	一个点或无实点，如 $x^2+y^2=0,-1$
$B^2-4AC=0$	抛物线	两条平行线、重合直线或无实点，如 $x^2=1,0,-1$
$B^2-4AC>0$	双曲线	两条相交直线，如 $x^2-y^2=0$

证明要点：消去混合项后，第一类两个平方项同号，配方后看常数；第三类平方项异号，中心平移后常数非零是双曲线、为零则分解成两线；第二类只剩一个平方项，若另一个变量的一次系数非零则为抛物线，否则退为一元二次条件。

如使用矩阵判别，非退化条件是

\det\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}\ne0,

但它仍不保证有实点，例如 $x^2+y^2+1=0$ 。因此应依次检查二次部分的类型、退化条件及实点存在性。

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