三面角的面角、二面角与体积

三个不共面的射线组成三面角。这里必须区分射线两两形成的面角与两个面形成的二面角；把四面体某一面的内角代入二面角位置会得到错误公式。

记号与非退化条件

从 $O$ 发出的射线 $OA,OB,OC$ 不共面，记其单位方向为 $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$ 。令

\alpha=\angle BOC,\quad\beta=\angle COA,\quad\gamma=\angle AOB.

三者均在 $(0,\pi)$ 内。记沿棱 $OA,OB,OC$ 的内部二面角分别为 $A_0,B_0,C_0$ ，取值也在 $(0,\pi)$ 内。下标提醒它们不是底面三角形 $ABC$ 的内角。

三面角余弦定理

沿用记号与非退化条件： $\alpha,\beta,\gamma$ 是三个面角， $A_0,B_0,C_0$ 是与它们相对的内部二面角。

由面角求二面角

三条关系完整写为

\begin{aligned} \cos\alpha&=\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma\cos A_0,\\ \cos\beta&=\cos\gamma\cos\alpha+\sin\gamma\sin\alpha\cos B_0,\\ \cos\gamma&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cos C_0. \end{aligned}

例如第一条可解出

\cos A_0=\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}.

证明。 将 $\mathbf v,\mathbf w$ 分解为沿 $\mathbf u$ 与垂直 $\mathbf u$ 的两个分量：

\mathbf v=\cos\gamma\,\mathbf u+\sin\gamma\,\mathbf e, \qquad \mathbf w=\cos\beta\,\mathbf u+\sin\beta\,\mathbf f.

$\mathbf e,\mathbf f$ 是分别指向两个面的单位向量，均垂直棱 $OA$ ，故其夹角为 $A_0$ 。两式作数量积，交叉项为零，得

\mathbf v\cdot\mathbf w =\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma(\mathbf e\cdot\mathbf f).

代入 $\mathbf v\cdot\mathbf w=\cos\alpha$ 、 $\mathbf e\cdot\mathbf f=\cos A_0$ ，即得第一式。分别沿 $\mathbf v,\mathbf w$ 分解，得到后两式。

由二面角求面角

还有对应的另一组余弦关系，不能把面角和二面角直接交换而沿用加号：

\begin{aligned} \cos A_0&=-\cos B_0\cos C_0+\sin B_0\sin C_0\cos\alpha,\\ \cos B_0&=-\cos C_0\cos A_0+\sin C_0\sin A_0\cos\beta,\\ \cos C_0&=-\cos A_0\cos B_0+\sin A_0\sin B_0\cos\gamma. \end{aligned}

代数证明。 记 $x=\cos\alpha,y=\cos\beta,z=\cos\gamma$ ，以及

D=1+2xyz-x^2-y^2-z^2>0.

由第一组公式及正弦为正，

\cos B_0=\frac{y-zx}{\sin\gamma\sin\alpha},\quad \cos C_0=\frac{z-xy}{\sin\alpha\sin\beta},

\sin B_0=\frac{\sqrt D}{\sin\gamma\sin\alpha},\quad \sin C_0=\frac{\sqrt D}{\sin\alpha\sin\beta}.

于是 $-\cos B_0\cos C_0+\sin B_0\sin C_0\cos\alpha$ 的分子为

-(y-zx)(z-xy)+xD=(1-x^2)(x-yz).

约去分母中的 $1-x^2=\sin^2\alpha>0$ ，剩下 $(x-yz)/(\sin\beta\sin\gamma)=\cos A_0$ 。轮换字母得到另外两式。所有分母非零均由三面角非退化保证。

三个面角的限制

由于 $-1<\cos A_0<1$ ，上式给

\cos(\beta+\gamma)<\cos\alpha<\cos(\beta-\gamma).

余弦在 $[0,\pi]$ 严格递减，故

|\beta-\gamma|<\alpha<\min\{\beta+\gamma,2\pi-\beta-\gamma\}.

因此任意两个面角之和大于第三个，且三个面角之和小于 $2\pi$ 。端点等号对应共面退化。判断三个候选角能否组成非退化三面角时，可以直接检查三面角余弦定理算得的二面角余弦是否严格在 $(-1,1)$ 内。

三面角正弦关系

令 $d=|\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)|>0$ 。利用余弦定理证明中的正交分解，或将 $\mathbf u$ 作为竖直坐标轴，可得

d=\sin\beta\sin\gamma\sin A_0.

循环交换后，得到

\frac{\sin A_0}{\sin\alpha} =\frac{\sin B_0}{\sin\beta} =\frac{\sin C_0}{\sin\gamma} =\frac d{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}.

分母非零来自三条射线不共面。它是三面角中的关系，不是“顶角的正弦除以底面三角形内角的正弦”恒定。

由棱长和面角求体积

设 $OA=a,OB=b,OC=c$ 。选 $\mathbf u=(1,0,0)$ 、 $\mathbf v=(\cos\gamma,\sin\gamma,0)$ ，则 $\mathbf w$ 的前两坐标为

w_1=\cos\beta,\qquad w_2=\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\gamma}.

由 $|\mathbf w|=1$ 求 $w_3^2$ ，而混合积的平方为 $\sin^2\gamma\,w_3^2$ ，所以

d^2=1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma.

四面体体积为

V=\frac{abc}{6}\sqrt{1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma}.

根号内须正；零表示共面，负表示给定夹角不可能。正四面体棱长为 $a$ 时三个面角均为 $\pi/3$ ，代入得到 $V=\sqrt2a^3/12$ 。

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