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面积权重、重心与三角形中心的向量刻画

拓展更新于 2026-09-29

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用面积作权重可以把几何位置写成唯一的向量组合。这是平面向量应用，也能帮助理解四面体内切球的面积权重。

面积权重恒等式

设 $P$ 在三角形 $ABC$ 内部，三小三角形面积分别为 $S_A=[PBC],S_B=[PCA],S_C=[PAB]$ ，总面积为 $S$ 。则

\mathbf p=\frac{S_A\mathbf a+S_B\mathbf b+S_C\mathbf c}{S},\qquad S_A\overrightarrow{PA}+S_B\overrightarrow{PB}+S_C\overrightarrow{PC}=\mathbf0.

证明：取 $A$ 为原点，以不共线的 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 为基底，写 $\overrightarrow{AP}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$ 。面积随底和高的线性变化给 $[APC]/S=u,[ABP]/S=v$ ，余下面积比为 $1-u-v$ 。代回即得。

反之，若正数 $x,y,z$ 满足 $x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}+z\overrightarrow{PC}=0$ ，则面积比为 $x:y:z$ 。唯一性来自上述基底坐标唯一。

重心与内心

重心的三个面积权重相等，故 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$ 。

内心 $I$ 到三边距离均为 $r$ ，三个面积为 $ar/2,br/2,cr/2$ ，因此

a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=0,

其中 $a,b,c$ 为相应对边长。反过来，正权重保证点在内部，而三小面积与底边之比相等，说明到三边距离相等，故为内心。例：三边长分别为 $3,4,5$ 时，内心坐标是顶点坐标以 $3,4,5$ 作权重的平均，并非简单三等分。

外心和垂心的稳健判定

2\mathbf o\cdot(\mathbf b-\mathbf a)=|\mathbf b|^2-|\mathbf a|^2.

与另一边对应的方程联立即可求外心，适用于锐角、直角、钝角三角形。

垂心 $H$ 满足 $(\mathbf h-\mathbf a)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0$ 、 $(\mathbf h-\mathbf b)\cdot(\mathbf a-\mathbf c)=0$ ；第三条高也自动满足，因为三式左侧相加为零。直角三角形中垂心就是直角顶点，仍满足这些方程。

外心与垂心的三角权重

设 $ABC$ 为非退化三角形， $a,b,c$ 分别为其对边长， $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ 为顶点的位置向量。外心的位置向量为

\mathbf o=\frac{\sin2A\,\mathbf a+\sin2B\,\mathbf b+\sin2C\,\mathbf c}{\sin2A+\sin2B+\sin2C}.

等价地，点 $O$ 为外心当且仅当

\sin2A\overrightarrow{OA}+\sin2B\overrightarrow{OB}+\sin2C\overrightarrow{OC}=\mathbf0.

证明。 由 $A+B+C=\pi$ 及和差化积，分母

D=\sin2A+\sin2B+\sin2C=4\sin A\sin B\sin C>0.

取 $A$ 为原点，写 $\overrightarrow{AO}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$ 。等距条件 $OA=OB=OC$ 等价于

c^2u+bc\cos A\,v=c^2/2,\qquad bc\cos A\,u+b^2v=b^2/2.

解得

u=\frac{c-b\cos A}{2c\sin^2A},\qquad v=\frac{b-c\cos A}{2b\sin^2A}.

由 $c-b\cos A=a\cos B$ 、 $b-c\cos A=a\cos C$ 及正弦定理，分别化成 $u=\sin2B/D$ 、 $v=\sin2C/D$ ，从而得到外心公式及其逆向判定。

对于非直角三角形，垂心的位置向量为

\mathbf h=\frac{\tan A\,\mathbf a+\tan B\,\mathbf b+\tan C\,\mathbf c}{\tan A+\tan B+\tan C}.

等价地，点 $H$ 为垂心当且仅当

\tan A\overrightarrow{HA}+\tan B\overrightarrow{HB}+\tan C\overrightarrow{HC}=\mathbf0.

证明。 角和关系给出 $T=\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\ne0$ 。按公式定义 $H$ ，则

T\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC} =-ac\tan B\cos B+ab\tan C\cos C =a(-c\sin B+b\sin C)=0.

最后一步使用正弦定理。因此 $AH\perp BC$ ；循环换字母可得另外两条高线条件，故 $H$ 是垂心。三角形的垂心唯一，反向也成立。

边界。 外心公式对直角三角形仍成立：直角对应权重为零，另两个权重相等，得到斜边中点。钝角对应的外心权重为负，此时不能解释成三个正面积的加权平均。垂心的正切公式在直角情形无定义，应直接取直角顶点，或使用数量积垂直条件。

旁心的有符号权重

设非退化三角形的顶点位置向量为 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ ，对边长为 $a,b,c$ 。与顶点 $A$ 对应的旁心位置为

\mathbf i_A=\frac{-a\mathbf a+b\mathbf b+c\mathbf c}{-a+b+c}.

分母因三角形两边和大于第三边而为正。该点相对三角形的面积权重为 $-a:b:c$ ：它在边 $BC$ 的外侧，到三条边所在直线的距离相等，因为有向小三角形面积的绝对值分别按边长成比例。因此是 $A$ 旁心。另两个旁心循环交换符号即可。

旁心是三条边所在直线的等距点，但不是三角形内部点；若误把三个权重都写成正数，就得到内心。此式只作为高中向量坐标应用，不展开旁切圆的竞赛几何配置。

面积权重如何转成可计算的坐标

设 $A=(0,0),B=(6,0),C=(0,4)$ ，内部点 $P$ 使 $[PBC]:[PCA]:[PAB]=1:2:3$ 。面积权重分别对应对面的顶点，所以

P=\frac{A+2B+3C}{6}=(2,2).

原三角形面积为 $12$ ，三个小三角形面积分别为 $2,4,6$ ，回代比例正确。权重之和归一化后是 $1$ ，且全为正，保证 $P$ 在内部。

外心或垂心可能在三角形外，不能把所有普通面积仍当成正权重来套用内部点公式。处理外部点要使用有向面积，或改用等距、垂直等稳健的坐标条件。三角形为直角时，含 $\tan A$ 的权重还可能无定义。

用两条等距方程求外心系数

设 $\overrightarrow{AO}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$ ， $AB=c,AC=b,\angle BAC=A$ ，三角形非退化。由 $OA=OB=OC$ ，平方相减得

\begin{cases}c^2u+bc\cos A\,v=c^2/2,\\bc\cos A\,u+b^2v=b^2/2.\end{cases}

行列式为 $b^2c^2\sin^2A>0$ ，所以

u=\frac{c-b\cos A}{2c\sin^2A},\qquad v=\frac{b-c\cos A}{2b\sin^2A}.

这对直角、钝角三角形同样有效。例如 $A=\pi/2$ 时 $u=v=1/2$ ，给出斜边中点。

由原方程可推出不含除法的关系

c^2u(2u-1)=b^2v(2v-1),\qquad(2u-1)(2v-1)=4uv\cos^2A.

若将它们改写为比值，必须保证分母非零；直角情形恰会出现 $0/0$ 。计算时保留原来的线性方程最稳妥。

几何关系与三角形四心的向量翻译

以下 $ABC$ 为非退化三角形，位置向量以任意同一原点计算。

共线： $P\in AB$ 所在直线当且仅当 $P=(1-t)A+tB$ ， $t\in\mathbb R$ ；在线段上再加 $0\le t\le1$ 。一般三点共线等价于存在不全为零的 $\alpha,\beta,\gamma$ ，满足 $\alpha+\beta+\gamma=0$ 且 $\alpha A+\beta B+\gamma C=0$ 。只写向量线性关系而不写系数和为零，不能保证三点共线。
重心 $G$ ： $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$ ；对任意 $P$ ， $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{PG}$ 。由 $G=(A+B+C)/3$ 直接相减可证。
内心 $I$ ： $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=0$ ，等价于 $\sin A\overrightarrow{IA}+\sin B\overrightarrow{IB}+\sin C\overrightarrow{IC}=0$ 。理由是三个小三角形面积为 $ar/2,br/2,cr/2$ ，面积重心坐标给出 $I=(aA+bB+cC)/(a+b+c)$ ；正弦定理把边长权重变为正弦权重。
垂心 $H$ ： $\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HA}$ 。例如第一、第三项相减得到 $\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{CB}=0$ ，正是对应高线条件；其余同理。
以外心 $O$ 为原点， $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ 。设右侧定义点 $H$ ，则 $(H-A)\cdot(B-C)=(B+C)\cdot(B-C)=|B|^2-|C|^2=0$ ，故它在三条高线上，结论得证。

长度关系翻译为模或平方： $AB=CD\iff|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{CD}|^2$ 。 $\overrightarrow{AB}=\pm\overrightarrow{CD}$ 可推出等长，反过来一般不成立。

AB=AC\iff(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{BC}=0.

这是平方差公式，因为 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ 。

角度关系用归一化数量积比较： $\cos\angle(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=(\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v)/(|\boldsymbol u||\boldsymbol v|)$ ，所有参与向量须非零；在 $[0,\pi]$ 内角越大余弦越小。平行转为向量比例，垂直转为数量积零。

若 $P$ 内分 $AC$ 且 $AP:PC=a:b$ （ $a,b>0$ ），则 $P=(bA+aC)/(a+b)$ 。只有已经知道共线并确定方向后，线段长度比才可转成有向向量比例。

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