总体、样本与抽样设计

统计用样本了解总体。样本量增大能减少随机波动，却不能自动修复抽样方式的系统偏差。

总体、个体、样本与抽样方式

研究对象的全体称为总体，其中每个基本单位称为个体。从总体中抽取的一部分个体构成样本，抽取的个体数称为样本容量；对这些个体测得的数值构成样本数据。例如调查全校学生身高时，全校学生是总体，每名学生是个体，抽取的 $100$ 名学生组成容量为 $100$ 的样本，身高是所观察的变量。

三种常见抽样方式

方式	操作与要求
简单随机抽样	对有限总体不放回选取固定数量，使每个同样大小的个体子集被抽中的概率相等。可用随机编号实现。
分层随机抽样	先按已知特征将总体划成互不重叠且覆盖全部个体的层，再在每层内随机抽样。层的划分必须在抽样前明确。
系统抽样	把总体排成名单，随机确定起点，再按固定间隔抽取。名单的周期结构可能使抽样不能充分代表总体。

比例分层中，总体容量为 $N$ ，第 $i$ 层容量为 $N_i$ ，计划抽 $n$ 个，则该层分配 $n_i=nN_i/N$ 个。分配数不为整数时须规定取整调整，使各层总数仍为 $n$ 。不等比例抽样估计总体均值时，应使用总体层权重，而非直接使用样本层人数比例。

例如 $N=kn$ 时，系统抽样可从 $1,\ldots,k$ 中随机取起点 $r$ ，再取 $r,r+k,\ldots,r+(n-1)k$ 。每个个体入样概率相同，但所能得到的样本组合只有这 $k$ 组，一般不属于简单随机抽样。

普查覆盖全部个体，消除了未抽到个体造成的抽样波动，但仍可能有漏记、记录或测量误差。增加样本量也不能自动消除抽样设计的偏差。

例：分层与加权

学校有 $600$ 名高一、 $400$ 名高二学生，比例抽取 $100$ 人，应分别抽 $60,40$ 人。若为了比较两个年级各抽 $50$ 人，估计全校均值时仍应按总体权重计算 $0.6\bar x_1+0.4\bar x_2$ ，不能直接各占一半。

易错点

自愿参与的在线问卷可能过度代表意见强烈的人。方便样本并非简单随机样本；“每个个体入样概率相同”也不一定足以保证每个同样大小的样本等可能。

数据记录

区分类别变量与数值变量，明确单位、缺失值含义、调查时间与对象。观察性数据中的关联不能直接解释为因果；随机分配处理的实验与随机抽样解决的问题不同。

等概率抽到个体还不够定义简单随机样本

有限总体有 $N$ 个个体、不放回选 $n$ 个时，简单随机抽样要求每个由 $n$ 个不同个体组成的样本都等可能。于是每个个体被选中的概率是 $n/N$ 。

只满足后一条件并不充分。例如从 $\{1,2,3,4\}$ 中，以各 $1/2$ 的概率选择样本 $\{1,2\}$ 或 $\{3,4\}$ ，每个人入样概率都是 $1/2$ ，但 $\{1,3\}$ 永远不会被选到，所以不是大小为 $2$ 的简单随机抽样。

实际使用随机数时，先固定编号、规则和样本容量；不放回抽样遇到重复编号应跳过。不能看到抽样结果后只保留符合预期的样本。

例：比例分层与总体均值的权重

某年级三个层分别有 $120,180,300$ 人，要按比例抽取 $60$ 人，抽样比为 $60/600=1/10$ ，各层应抽 $12,18,30$ 人。

若三个层样本均值依次为 $70,80,90$ ，按总体层权重估计总体均值：

\widehat\mu=\frac{120}{600}\cdot70+\frac{180}{600}\cdot80+\frac{300}{600}\cdot90=83.

三个均值直接平均得到 $80$ ，忽略了层的规模。若为了研究某个小层而采用不等比例抽样，估计总体均值时仍应按总体层占比加权，不能直接沿用样本人数比例。

关联阅读

先修：样本空间、事件与概率模型。

同主题：统计图表、均值与分位数。

总体、个体、样本与抽样方式

研究对象的全体称为总体，其中每个基本单位称为个体。从总体中抽取的一部分个体构成样本，抽取的个体数称为样本容量；对这些个体测得的数值构成样本数据。例如调查全校学生身高时，全校学生是总体，每名学生是个体，抽取的

100

名学生组成容量为

100

的样本，身高是所观察的变量。

三种常见抽样方式

方式

操作与要求

简单随机抽样

对有限总体不放回选取固定数量，使每个同样大小的个体子集被抽中的概率相等。可用随机编号实现。

分层随机抽样

先按已知特征将总体划成互不重叠且覆盖全部个体的层，再在每层内随机抽样。层的划分必须在抽样前明确。

系统抽样

把总体排成名单，随机确定起点，再按固定间隔抽取。名单的周期结构可能使抽样不能充分代表总体。

比例分层中，总体容量为

N

，第

i

层容量为

N_i

，计划抽

n

个，则该层分配

n_i=nN_i/N

个。分配数不为整数时须规定取整调整，使各层总数仍为

n

。不等比例抽样估计总体均值时，应使用总体层权重，而非直接使用样本层人数比例。

例如

N=kn

时，系统抽样可从

1,\ldots,k

中随机取起点

r

，再取

r,r+k,\ldots,r+(n-1)k

。每个个体入样概率相同，但所能得到的样本组合只有这

k

组，一般不属于简单随机抽样。

普查覆盖全部个体，消除了未抽到个体造成的抽样波动，但仍可能有漏记、记录或测量误差。增加样本量也不能自动消除抽样设计的偏差。

等概率抽到个体还不够定义简单随机样本

有限总体有

N

个个体、不放回选

n

个时，简单随机抽样要求每个由

n

个不同个体组成的样本都等可能。于是每个个体被选中的概率是

n/N

。

只满足后一条件并不充分。例如从

\{1,2,3,4\}

中，以各

1/2

的概率选择样本

\{1,2\}

或

\{3,4\}

，每个人入样概率都是

1/2

，但

\{1,3\}

永远不会被选到，所以不是大小为

2

的简单随机抽样。

实际使用随机数时，先固定编号、规则和样本容量；不放回抽样遇到重复编号应跳过。不能看到抽样结果后只保留符合预期的样本。