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二次曲线系：公共点、共焦与相切条件

拓展更新于 2026-09-29

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曲线系把已知的公共点或形状条件编码进方程。所得方程还需检查次数、非退化性、实点存在性和额外约束。

线性组合保留公共点

若 $F(x,y),G(x,y)$ 为二次多项式，公共零点必满足

\lambda F(x,y)+\mu G(x,y)=0,\qquad(\lambda,\mu)\ne(0,0).

这给出一个经过公共点的曲线族。某些参数会使二次项消失，或产生两条直线、单点、空集；若 $F,G$ 成比例，还可能成为零方程。没有附加位置条件时，不宜笼统声称它必是全部过公共点的非退化二次曲线。

例： $F=x^2+y^2-1,G=x^2-y^2$ 的公共点为 $(\pm1/\sqrt2,\pm1/\sqrt2)$ 。 $F+tG=0$ 化为 $(1+t)x^2+(1-t)y^2=1$ ： $|t|<1$ 为椭圆， $|t|>1$ 为双曲线， $t=1$ 或 $-1$ 则分别退化为两条竖直线或水平线。

用直线乘积固定三点和四点

三角形三边所在直线分别为 $L_1=0,L_2=0,L_3=0$ ，则

A L_1L_2+B L_2L_3+C L_3L_1=0

在每个顶点都成立，因为每个顶点上有两个 $L_i$ 为零。参数不得全为零。它提供经过三顶点的二次式族，具体成员是否非退化应另查。

给定四边形的四条边所在直线，按相邻顺序记为 $L_1,L_2,L_3,L_4$ ，则

\lambda L_1L_3+\mu L_2L_4=0

经过四个顶点。只写 $L_1L_3+tL_2L_4=0$ 会遗漏成员 $L_2L_4=0$ ；用两个齐次参数可完整保留这一组合族。

若已知二次曲线 $F=0$ 与两条直线 $L_1=0,L_2=0$ 的交点，则 $F+tL_1L_2=0$ 自动保留这些点。这通常能减少待定系数的数量。

共焦与共渐近线的参数范围

固定 $A>B>0$ ，考察

\frac{x^2}{A-t}+\frac{y^2}{B-t}=1.

当 $t<B$ ，这是椭圆，半轴平方差为 $A-B$ ，焦点固定在 $(\pm\sqrt{A-B},0)$ 。当 $B<t<A$ ，改写为

\frac{x^2}{A-t}-\frac{y^2}{t-B}=1,

是焦点相同的双曲线。当 $t>A$ ，左侧非正，方程没有实点。 $t=A,B$ 时原式无定义，不能直接当成普通成员。

共渐近线的双曲线族可写

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=s,\qquad s\ne0.

$s>0$ 时开口沿横轴， $s<0$ 时沿纵轴；渐近线始终为 $y=\pm(b/a)x$ 。 $s=0$ 则恰好是两条渐近线的并集。

在固定点与一个圆相切的圆系

设圆为 $S(x,y)=|X-C|^2-R^2=0$ ， $P$ 在圆上， $R>0$ 。考虑

S(X)+t|X-P|^2=0.

当 $t\ne-1$ ，配方得新圆心

C_t=\frac{C+tP}{1+t},\qquad R_t=\frac{R}{|1+t|}.

因为 $C_t-P=(C-P)/(1+t)$ ，新圆经过 $P$ ，且半径方向与原圆在 $P$ 的半径共线，所以切线相同。 $t=0$ 是原圆本身，不能称为两个不同圆相切； $t=-1$ 时平方项消去，方程成为原圆在 $P$ 的切线。

例：原圆 $x^2+y^2=1$ ， $P=(1,0)$ ，取 $t=1$ ，得圆心 $(1/2,0)$ 、半径 $1/2$ 的内切圆。这个计算同时核查了新圆实在、过点以及相切三个条件。

等轴双曲线与共轭双曲线

双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ （ $a,b>0$ ）在 $a=b$ 时称为等轴双曲线，其离心率为 $\sqrt2$ ，两条渐近线互相垂直。改用两条相互垂直的对角方向为坐标轴，令

u=\frac{x+y}{\sqrt2},\qquad v=\frac{x-y}{\sqrt2},

便有 $x^2-y^2=2uv$ ，所以等轴双曲线可写成 $uv=a^2/2$ 。一般以两坐标轴为渐近线的双曲线写为 $xy=k$ ， $k\ne0$ ；正负号决定所在象限。

两条曲线

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

互称共轭双曲线。它们交换实轴、虚轴的方向，共用渐近线。两者半焦距均为 $c=\sqrt{a^2+b^2}$ ，离心率分别为 $e_1=c/a,e_2=c/b$ ，故

\frac1{e_1^2}+\frac1{e_2^2}=1.

四个焦点为 $(\pm c,0),(0,\pm c)$ ，都在以原点为圆心、半径 $c$ 的圆上。“共轭”不表示焦点相同，应与共焦曲线区分。

标准非圆椭圆上四点共圆的判据

设 $A,B,C,D$ 是 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 上四个互异点， $a,b>0,a\ne b$ ，直线 $AB,CD$ 斜率均存在，记为 $k_1,k_2$ 。则四点共圆当且仅当 $k_1+k_2=0$ 。

充分性：记 $F=x^2/a^2+y^2/b^2-1$ ，两直线为 $L_i=y-k_ix-d_i$ 。若 $k_2=-k_1=-k$ ，取

\lambda=\frac{1/a^2-1/b^2}{1+k^2},

则 $F+\lambda L_1L_2$ 的交叉项为零，两个平方项系数都等于

(1/a^2+k^2/b^2)/(1+k^2)>0.

因此它是圆方程的形式，并经过四个互异实点，故确为实圆。

必要性：设过四点的圆方程为 $G=x^2+y^2+ux+vy+w=0$ 。取 $t=(1/a^2+k_1^2/b^2)/(1+k_1^2)$ 。 $F-tG$ 限制在直线 $AB$ 后至多是一次式，却在 $A,B$ 都为零，因此恒为零，可以分解为 $L_1$ 乘一次式。该一次式又在不属于 $AB$ 的 $C,D$ 为零，故与 $L_2$ 成比例。于是 $F-tG=sL_1L_2$ 。由于原椭圆不是圆， $s\ne0$ ；比较交叉项得 $s(k_1+k_2)=0$ ，结论成立。

两弦都水平时同样成立，不能在证明中预先要求两条弦相交；若有竖直弦，应交换坐标或另行讨论。

丹德林双球怎样解释椭圆的焦点

在直圆锥同一半锥内，截平面切出一个闭合截线。若两个内切球分别与截平面切于 $F_1,F_2$ ，并与圆锥沿两个圆相切，那么截线上任一点 $P$ 所在母线分别与两个球切于 $M,N$ ，且 $P$ 位于 $M,N$ 之间。

从同一点向同一个球作切线，切线段等长，可在经过球心的平面内用勾股定理证明。故

PF_1=PM,\qquad PF_2=PN,\qquad PF_1+PF_2=MN.

两个切点圆分别在与圆锥轴垂直的平面上，它们之间的母线段长 $MN$ 不随母线改变。因此截线满足到两定点的距离和为常数，是椭圆；两个球与截平面的切点就是焦点。

论证依赖闭合截线和上述两球位置。若截平面与母线平行，或跨越双锥，应重新分析距离的和差，不能沿用“ $P$ 在 $M,N$ 之间”。本节解释模型的几何依据，不要求先用空间坐标展开复杂截面方程。

共焦椭圆与双曲线在交点的离心率关系

设两曲线共同焦点为 $F_1,F_2$ ，半焦距 $c$ 。椭圆长半轴为 $a_E$ ，双曲线实半轴为 $a_H$ ，离心率为 $e_E=c/a_E,e_H=c/a_H$ 。对交点 $P$ 记 $PF_1=u,PF_2=v,\angle F_1PF_2=2\theta$ 。

由两曲线定义， $u+v=2a_E,|u-v|=2a_H$ 。余弦定理可重组为

4c^2=(u-v)^2\cos^2\theta+(u+v)^2\sin^2\theta.

代入并除以 $4c^2$ 得

\frac{\sin^2\theta}{e_E^2}+\frac{\cos^2\theta}{e_H^2}=1.

这里的角是焦点三角形顶角的一半，不能与焦弦相对横轴的倾角混用。该关系是交点的必要关系；使用它求出的参数还须满足 $0<a_H<c<a_E$ 以及题目的交点位置约束。

按几何条件选择曲线系

曲线系是具有某种共同性质的一族曲线；参数式须区分“给出一些成员”与“覆盖全部成员”。

直线系（ $A,B$ 不全为零）：

过定点： $\lambda(y-y_0)+\mu(x-x_0)=0$ ， $(\lambda,\mu)\ne(0,0)$ 。
平行于 $Ax+By+C=0$ ： $Ax+By+t=0$ ；严格平行须 $t\ne C$ 。
垂直于该线： $Bx-Ay+t=0$ 。
到原点距离 $r>0$ ： $x\cos\theta+y\sin\theta=r$ ， $0\le\theta<2\pi$ 。

由直线生成二次曲线系：记 $f_i=A_ix+B_iy+C_i$ 。

过三角形三顶点、四边形四顶点及已知曲线与两线交点的组合形式，见用直线乘积固定公共点。还有一种指定切点和切线的形式：

在两线 $f_1=0,f_2=0$ 的指定不同点 $M_1,M_2$ 相切： $f_1f_2+t f_3^2=0$ ， $f_3=0$ 为 $M_1M_2$ ；须排除退化参数，并假定 $M_i$ 不在两原线交点。限制到 $f_1=0$ 后只剩 $t f_3^2=0$ ，给出二重交点，从而说明相切。 共轴圆系：不同心两圆的标准一般式为 $C_1=0,C_2=0$ ，则 $C_1+tC_2=0$ 。 $t=-1$ 为根轴； $t\ne-1$ 时除以 $1+t$ 得圆型方程，但还须检查半径平方：可为实圆、点或无实点，不能笼统称为实圆。此单参数形式遗漏 $C_2=0$ ，齐次参数形式可补齐。

有心圆锥曲线系： $x^2/\lambda+y^2/\mu=1$ ， $\lambda\mu\ne0$ ；两正为椭圆（相等为圆），异号为双曲线，两负无实点。

共焦系的两个分母必须减去同一个参数，范围分类见共焦与共渐近线。
共给定横轴端点： $x^2/a^2+y^2/t=1$ ， $t\ne0$ 。 $t<0$ 为横向双曲线； $0<t<a^2$ 是以 $(\pm a,0)$ 为长轴顶点的椭圆； $t>a^2$ 时这两点变为短轴端点； $t=a^2$ 是圆。
共离心率相似椭圆： $x^2/a^2+y^2/b^2=t$ ，固定 $a>b>0,t>0$ ，半轴同乘 $\sqrt t$ ，离心率不变。
共渐近线双曲线： $x^2/a^2-y^2/b^2=t$ ， $t\ne0$ ； $t=0$ 退化为两渐近线。
过两已知有心曲线公共点： $F_1+tF_2=0$ ，遗漏 $F_2=0$ ，使用 $\alpha F_1+\beta F_2=0$ 可补全，仍须检查是否真为非退化曲线。

以上曲线系的使用是选取参数后代入额外条件求参数；写出形式本身不等于已经验证曲线类型和全部范围。

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