圆锥曲线切线的角平分性质

两个单位方向的和与差

设 $\mathbf u,\mathbf v$ 为不相同也不相反的单位向量。则 $\mathbf u+\mathbf v$ 平分二者的内角，$\mathbf u-\mathbf v$ 平分外角，且两者垂直。

确实，$(\mathbf u+\mathbf v)\cdot\mathbf u=(\mathbf u+\mathbf v)\cdot\mathbf v=1+\mathbf u\cdot\mathbf v$，故夹角余弦相等；两个单位向量构成的菱形对角线在内角内部，因此是内角平分线。差向量相当于对 $\mathbf u,-\mathbf v$ 用同一结论，且 $(\mathbf u+\mathbf v)\cdot(\mathbf u-\mathbf v)=0$。

重合或相反时某个和差向量为零，不能把它当作直线方向。圆锥曲线的顶点情形应另用标准切线判断。

椭圆：法线平分两条焦点射线的内角

设椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$a>b>0,c^2=a^2-b^2$，焦点 $F_-=(-c,0),F_+=(c,0)$。取非顶点 $P=(x,y)$，记 $r_-=PF_-=a+cx/a,r_+=PF_+=a-cx/a$，并令

它们是从两焦点指向 $P$ 的单位向量。利用 $r_-+r_+=2a$ 直接通分得

括号内是切线 $xX/a^2+yY/b^2=1$ 的法向量，所以法线平分两焦点方向的内角，切线平分外角。将两个方向同时反向，不改变角平分直线，故也可表述为射线 $PF_-,PF_+$ 的结论。

因此从一焦点射向椭圆的光线，经切线按等角反射后沿另一焦点方向前进。长轴顶点两焦点射线重合，切线垂直长轴，直接验证同样的反射结论。

双曲线：切线平分两条焦点射线的内角

设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$，$c^2=a^2+b^2$，先取右支非顶点 $P=(x,y)$。此时 $r_-=cx/a+a,r_+=cx/a-a$，沿用两焦点到 $P$ 的单位向量 $\mathbf u,\mathbf v$。直接计算得

这与切线法向量平行，所以法线是外角平分线，切线是内角平分线。左支由关于纵轴的对称得到相同结论。

反射后的光线或其反向延长线经过另一焦点，具体哪条射线须结合所在支与入射方向判断；不能把椭圆的“两焦点间反射”原话无条件套用。顶点处两焦点射线相反，单独用顶点切线验证。

抛物线：焦点方向与轴方向

设抛物线 $y^2=2px$，$p>0$，焦点 $F=(p/2,0)$。对点 $P=(x,y)$，有 $r=PF=x+p/2$。令 $\mathbf u=(x-p/2,y)/r$ 是从焦点到 $P$ 的单位向量，令 $\mathbf e=(1,0)$，则

而切线为 $yY=p(X+x)$，法向量正是 $(-p,y)$。因此非顶点处切线平分 $\mathbf u,\mathbf e$ 的内角，法线平分外角。由角平分关系，平行于轴、朝向抛物线凹面入射的光线反射后经过焦点；反过来，从焦点射出的光线反射后沿正轴向平行射出。

在顶点 $(0,0)$，切线为纵轴，直接检查轴上光线即可。