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球、截面与典型空间模型

基础更新于 2026-09-29

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球心到平面的距离决定球的截面；空间对称性常帮助定位球心。

球、球面与平面截形

空间中与定点 $O$ 距离等于 $R>0$ 的所有点构成球面；距离不超过 $R$ 的所有点构成球。 $O$ 为球心， $R$ 为半径。球面只有边界，球包括内部，描述截形时须区分二者。

半径为 $R$ 的球的表面积和体积分别为

S=4\pi R^2,\qquad V=\frac43\pi R^3.

这里采用高中几何的球面积、体积基本公式；本篇不以示意图替代它们的面积、体积理论证明。

平面截球的三种情况

设 $H$ 为球心 $O$ 到平面 $\Pi$ 的垂足， $d=OH\ge0$ 。对平面中任一点 $P$ ，勾股定理给出

OP^2=d^2+HP^2.

因此：

$d<R$ ：球面与平面相交成圆周，圆心为 $H$ ，半径为 $\rho=\sqrt{R^2-d^2}$ ；球与平面的交集为该圆及其内部。
$d=R$ ：只有 $H$ 一个公共点，平面与球相切。
$d>R$ ：没有公共点。

上面的等式同时证明了必要性和充分性：平面中的点在球面上，当且仅当 $HP^2=R^2-d^2$ 。通过球心的截面圆称为大圆，半径为 $R$ ，是所有截面圆中最大的。

球面上两点的球面距离通常指连接它们的大圆劣弧长，等于 $R\theta$ ，其中 $\theta\in[0,\pi]$ 为相应圆心角的弧度数；它与空间直线距离 $2R\sin(\theta/2)$ 不同。

经纬度、圆心角与球面距离

把地球理想化为半径 $R>0$ 的球，纬度 $\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]$ （北正南负）、经度 $\lambda$ （选定东正方向）的点可写成

P=R(\cos\varphi\cos\lambda,\cos\varphi\sin\lambda,\sin\varphi).

两点经纬度为 $(\lambda_1,\varphi_1),(\lambda_2,\varphi_2)$ ，点乘求得较小圆心角 $\theta\in[0,\pi]$ 满足

\cos\theta=\sin\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\lambda_1-\lambda_2).

连接两点的大圆劣弧长为 $R\theta$ ，弦长则为 $2R\sin(\theta/2)$ ，不可混同。对径点有多个大圆可选，但劣弧长度都为 $\pi R$ 。

同一纬圈的半径为 $R\cos\varphi$ ，沿纬圈走经度差对应的弧长为 $R\cos\varphi\,|\Delta\lambda|$ ；除赤道等特殊情形外，它不是大圆距离。角度计算弧长时均用弧度。

例：长方体外接球

边长为 $a,b,c$ 的长方体，中心到八个顶点距离相同，所以外接球半径为 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}/2$ 。边长 $2,3,6$ 时半径为 $7/2$ 。

球的截面与外接球半径如何转化

半径为 $R$ 的球被距球心 $d$ 的平面所截： $0\le d<R$ 时截面圆半径为 $\sqrt{R^2-d^2}$ ； $d=R$ 时只有切点； $d>R$ 时无交集。切点不是半径为正的圆面。

对于高为 $h$ 的直三棱柱，若底面三角形的外接圆半径为 $r$ ，球心位于两底面外心连线的中点。由直角三角形，外接球半径 $R=\sqrt{r^2+h^2/4}$ 。例如底面是边长 $2$ 的等边三角形，高 $2$ ，则 $r=2/\sqrt3$ ， $R=\sqrt{7/3}$ 。这里要求直棱柱；斜棱柱的相应中点未必与六个顶点等距。

正棱锥的外接球：允许球心在底面下方

设正棱锥的高为 $h>0$ ，底面外接圆半径为 $r_0>0$ ，底面中心为 $H$ ，顶点为 $P$ 。球心 $O$ 位于轴 $PH$ 所在直线上，但未必在线段 $PH$ 内。

取底面为 $z=0$ 、 $H$ 为原点、 $P=(0,0,h)$ ，设 $O=(0,0,t)$ 。底面各顶点到底面中心距离均为 $r_0$ 。到顶点和到底面顶点等距给出

(h-t)^2=t^2+r_0^2,

所以

t=\frac{h^2-r_0^2}{2h},\qquad R=h-t=\frac{h^2+r_0^2}{2h}.

这里 $h-t>0$ ，故 $R$ 确实是球心到顶点的距离。 $h>r_0$ 时球心在底面上方； $h=r_0$ 时在底面中心； $h<r_0$ 时在底面下方。若先假设球心在线段内，就会漏掉第三种情形。

此模型也适用于底面各顶点共圆、顶点位于底面外心垂线上的棱锥。一般斜棱锥不满足这一条件，应根据各顶点等距另解球心。

正四面体的高、面积、体积与内外接球

设正四面体所有棱长为 $a>0$ 。取一面为底面，底面中心 $H$ 到底面顶点的距离为 $a/\sqrt3$ ，顶点 $P$ 在 $H$ 正上方。勾股定理给高

h=\sqrt{a^2-a^2/3}=\frac{a\sqrt6}{3}.

每面是面积为 $\sqrt3a^2/4$ 的等边三角形，因此表面积和体积为

S=\sqrt3a^2,\qquad V=\frac13\frac{\sqrt3a^2}{4}h=\frac{\sqrt2a^3}{12}.

外接球心在轴 $PH$ 上。设它距底面的有向高度为 $t$ ，到顶点 $P$ 的距离平方与到底面任一顶点的距离平方相同，故

(h-t)^2=t^2+\frac{a^2}{3}.

用 $h^2=2a^2/3$ 解得 $t=h/4$ ，所以外接球半径为

R=h-t=\frac{3h}{4}=\frac{a\sqrt6}{4}.

正四面体的对称性使同一点到四个面等距，为内切球心；也可由 $V=rS/3$ 求得

r=\frac{3V}{S}=\frac h4=\frac{a\sqrt6}{12},\qquad R=3r.

这些比例属于正四面体，不能直接套到只有某几条棱相等的一般四面体。一般四面体的内外接球见四面体模型。

截面与折叠

截平面与同一面的交线是直线；与一对平行面的交线互相平行。作截面时逐面寻找交点，并确认交点落在棱段内。折叠保留各面内的长度与角度，但不同面之间的距离、二面角可以改变，不能把折叠前平面上的全部距离照搬到空间。

空间轨迹中的直径球和定比球

设空间中 $A\ne B$ ，中点为 $M$ 。极化恒等式在三维仍成立：

\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=PM^2-\frac{AB^2}{4}.

因此数量积为零的全部点构成以 $AB$ 为直径的球面（若说夹角为直角，还须排除 $A,B$ ）。数量积等于 $d$ 时，半径平方为 $d+AB^2/4$ ；它可正、零、负，分别对应球面、单点、空集。

若 $PA=\lambda PB$ ， $\lambda>0,\lambda\ne1$ ，平方配方得球心与半径

C=\frac{A-\lambda^2B}{1-\lambda^2},\qquad r=\frac{\lambda AB}{|1-\lambda^2|}.

$\lambda=1$ 时轨迹为垂直平分面。再附加“ $P$ 位于某个平面或多面体表面”，就应取球面与各面的交集，并把圆截成实际面内的圆弧。

例： $A=(-1,0,0),B=(1,0,0)$ ，若数量积为零且 $z=1/2$ ，轨迹圆半径为 $\sqrt3/2$ 。若还要求 $x,y\ge0$ ，只保留四分之一圆，弧长为 $\pi\sqrt3/4$ 。

定线面角首先对应圆锥面

固定点 $O$ 在平面 $z=0$ 上，动点 $P=(x,y,z)\ne O$ 。 $OP$ 与该平面成固定角 $\theta\in(0,\pi/2)$ ，等价于

z^2=(x^2+y^2)\tan^2\theta.

这是双圆锥面，一般不是球面。只有再限制 $z=h\ne0$ 等条件时，才在相应平面上得到半径 $|h|\cot\theta$ 的圆。

例如在单位正方体表面求 $OP$ 与底面成 $45^\circ$ 的轨迹，顶面给圆弧，竖直侧面则需将 $x=1$ 或 $y=1$ 代入，检查所得曲线是否在面内。不能把各个面的轨迹都预先当成圆弧。 $\theta=0,\pi/2$ 要分别按平面内方向、法线方向处理。

关联阅读

进一步阅读：四面体内外接球与特殊模型。

先修：几何体的面积、体积与等体积法 · 空间向量、角与距离。

同主题：几何体的面积、体积与等体积法。