有限状态的概率递推

当下一步的概率取决于当前情况时，先把所有情况分成互不重叠的状态，再按全概率公式递推。这里使用有限个状态与初等递推，不引入矩阵或高等随机过程理论。

两状态递推的通式

记 $p_n=P(A_n)$ 。设处于状态 $A$ 后下一步仍为 $A$ 的转移概率是 $\alpha$ ，处于另一状态后下一步为 $A$ 的转移概率是 $\beta$ ，其中 $0\le\alpha,\beta\le1$ ，并且各步转移规则相同。在条件事件概率为正时，这分别表示 $P(A_{n+1}\mid A_n)=\alpha$ 、 $P(A_{n+1}\mid A_n^c)=\beta$ ；零概率状态的当步贡献直接记为零，不计算未定义的条件概率。按两种状态作全概率分解得

p_{n+1}=\alpha p_n+\beta(1-p_n)=\beta+(\alpha-\beta)p_n.

当 $1-\alpha+\beta\ne0$ 时，令 $p_* =\beta/(1-\alpha+\beta)$ ，得到

p_n=p_*+(\alpha-\beta)^{n-1}(p_1-p_*).

$\alpha=1,\beta=0$ 时，原递推是 $p_{n+1}=p_n$ ，应直接处理。注意各次事件一般不独立，不能把 $p_1$ 连乘。

例：从其余密码中重新选择

有 $m\ge2$ 种密码，每周从与上周不同的 $m-1$ 种中等概率选择；第一周使用指定密码 $A$ 。记第 $n$ 周使用 $A$ 的概率为 $p_n$ 。若上周是 $A$ ，本周概率为 $0$ ；若上周不是 $A$ ，本周概率为 $1/(m-1)$ 。所以

p_{n+1}=\frac{1-p_n}{m-1},\qquad p_n=\frac1m+\frac{m-1}{m}\left(-\frac1{m-1}\right)^{n-1}.

$m=4$ 时， $p_7=1/4+(3/4)(1/3)^6=61/243$ 。 $m=2$ 时实际在两密码间交替，公式仍有效。

停止问题先写边界

甲乙共持有 $3$ 枚硬币，每轮独立且公平地把一枚硬币从输者转给赢者，一方清零即停止。令 $u_i$ 表示甲当前有 $i$ 枚时最终获得全部硬币的概率。边界为 $u_0=0,u_3=1$ ，内部有

u_1=\frac12u_0+\frac12u_2,\qquad u_2=\frac12u_1+\frac12u_3.

解得 $u_1=1/3,u_2=2/3$ 。方程只按下一步分类。

停止确实以概率 $1$ 发生：每两轮内连续朝某一方转移就足以停止，因此条件停止概率至少 $1/4$ ，继续 $2k$ 轮的概率至多 $(3/4)^k$ ，趋于零。若游戏允许平局，必须说明平局是否耗时以及是否改变状态；不能直接把原游戏当成上述无平局模型。

极值分布：先求不超过某值的概率

独立掷两枚公平六面骰，令 $X$ 为点数的最大值。对 $k=1,\ldots,6$ ，

P(X\le k)=\left(\frac k6\right)^2,\qquad P(X=k)=\frac{k^2-(k-1)^2}{36}=\frac{2k-1}{36}.

于是

EX=\frac1{36}\sum_{k=1}^6 k(2k-1)=\frac{161}{36}.

对 $r$ 次独立公平骰子试验，最大点数的分布同理由 $(k/6)^r-((k-1)/6)^r$ 得到。这里“独立”和“公平”分别用于概率相乘与单次均匀分布。

每天均匀不代表两天独立

单独知道每天的某个时长均匀分布，不能唯一确定两天之和的分布。若 $X$ 在 $[0,1]$ 均匀分布，令 $Y=X$ 或令 $Y=1-X$ ，则 $Y$ 也都均匀分布；但前者的和为 $2X$ ，后者的和恒为 $1$ 。

因此把连续两天的时长画成矩形内的均匀点，必须额外给出两天相互独立。原一试 V2 若干睡眠、晚点题只写每天均匀，手册将独立性列为模型所需条件，而不把它当成自动成立。

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两状态递推的通式

记

p_n=P(A_n)

。设处于状态

A

后下一步仍为

A

的转移概率是

\alpha

，处于另一状态后下一步为

A

的转移概率是

\beta

，其中

0\le\alpha,\beta\le1

，并且各步转移规则相同。在条件事件概率为正时，这分别表示

P(A_{n+1}\mid A_n)=\alpha

、

P(A_{n+1}\mid A_n^c)=\beta

；零概率状态的当步贡献直接记为零，不计算未定义的条件概率。按两种状态作全概率分解得

p_{n+1}=\alpha p_n+\beta(1-p_n)=\beta+(\alpha-\beta)p_n.

当

1-\alpha+\beta\ne0

时，令

p_* =\beta/(1-\alpha+\beta)

，得到

p_n=p_*+(\alpha-\beta)^{n-1}(p_1-p_*).

\alpha=1,\beta=0

时，原递推是

p_{n+1}=p_n

，应直接处理。注意各次事件一般不独立，不能把

p_1

连乘。

每天均匀不代表两天独立

单独知道每天的某个时长均匀分布，不能唯一确定两天之和的分布。若

X

在

[0,1]

均匀分布，令

Y=X

或令

Y=1-X

，则

Y

也都均匀分布；但前者的和为

2X

，后者的和恒为

1

。