有理性与无理性的证明方法

有理数的封闭性怎样使用

若 $r,s\in\mathbb Q$，则 $r+s,r-s,rs$ 仍有理；$s\ne0$ 时 $r/s$ 也有理。于是若 $\alpha\notin\mathbb Q$、$r\in\mathbb Q$，则 $\alpha+r$ 无理；若再有 $r\ne0$，则 $r\alpha$ 无理。

证明只需反推：若 $r\alpha$ 有理，除以非零有理数 $r$ 就推出 $\alpha$ 有理，矛盾。非零条件不可省略，因为 $0\cdot\sqrt2=0$。

两个无理数之间没有统一的四则运算结论：$\sqrt2+(-\sqrt2)=0$，$\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2$；$\sqrt2\sqrt2=2$，$\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$。需要检查具体结构。

非平方整数的平方根

设 $N$ 为非负整数。若 $\sqrt N=p/q$，其中 $p,q$ 为互素非负整数且 $q>0$，则 $p^2=Nq^2$。如果 $q>1$，取 $q$ 的一个素因子，它也整除 $p^2$，因而整除 $p$，与互素矛盾。因此 $q=1$，$N=p^2$。

所以整数的平方根若有理，必为整数；非完全平方非负整数的平方根一定无理。这只用最基本的整除与最简分数，不展开数论专题。

更一般地，正有理数写成最简分数 $A/B$ 后，$\sqrt{A/B}$ 有理当且仅当 $A,B$ 都是完全平方数。若 $\sqrt{A/B}=p/q$ 为最简分数，则 $A/B=p^2/q^2$ 也是最简分数，故分子分母分别相等。

两个非负根式之和有理

设 $a,b\in\mathbb Q$ 且 $a,b\ge0$。若 $m=\sqrt a+\sqrt b\in\mathbb Q$，则两根式分别有理。

若 $m=0$，非负性迫使 $a=b=0$。若 $m>0$，由 $\sqrt b=m-\sqrt a$ 平方得

再由 $\sqrt b=m-\sqrt a$ 得结论。证明没有用“两个无理数的和仍无理”这种错误命题，而是利用被开方数有理及根号的非负性。

若改为差 $\sqrt a-\sqrt b=m$，当 $m\ne0$ 时同样可反解；当 $m=0$ 时只能得到 $a=b$，不能推出根式有理，如 $\sqrt2-\sqrt2=0$。

三个非负根式之和有理

设 $a,b,c$ 为非负有理数，且 $m=\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c$ 有理。若 $m=0$，三者均为零；以下设 $m>0$。

由 $\sqrt a+\sqrt b=m-\sqrt c$ 平方，得

若 $c>0$，则 $y>0$。再由 $\sqrt{ab}=y-m\sqrt c$ 平方，得到

若 $c=0$，其平方根本来就是有理数。因此 $\sqrt c$ 总有理，而 $\sqrt a+\sqrt b=m-\sqrt c$ 有理，再用上一节即可。

零值分支必须先处理，不能直接除以 $my$。此处只证明三项情形，不把任意带符号根式和归入这个结论；例如 $\sqrt2+\sqrt8-\sqrt{18}=0$ 发生了抵消。