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反三角函数与三角求和

拓展更新于 2026-09-29

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本页分为两部分：先说明如何由三角函数值确定主值角，再讨论三角数列的求和与连乘。前者依赖反函数与主值约定；后者依赖和差化积、积化和差和倍角公式。阅读求和部分时，可直接从“等差角的正弦和与余弦和”开始。

反三角函数：定义、主值与基本关系

三角函数在整个定义域上并非一一对应。例如 $\sin(\pi/6)=\sin(5\pi/6)=1/2$ ，仅给出正弦值无法唯一确定角。因此，定义反函数前，要把原三角函数限制在一个严格单调且覆盖其全部值域的区间上。

名称	记号	自变量范围	函数值范围（主值区间）	单调性
反正弦	$\arcsin t$	$[-1,1]$	$[-\pi/2,\pi/2]$	严格递增
反余弦	$\arccos t$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$	严格递减
反正切	$\arctan t$	$\mathbb R$	$(-\pi/2,\pi/2)$	严格递增
反余切	$\operatorname{arccot}t$	$\mathbb R$	$(0,\pi)$	严格递减

例如 $y=\arcsin t$ 的含义是： $\sin y=t$ ，并且 $y\in[-\pi/2,\pi/2]$ 。两个条件共同确定唯一的 $y$ 。这里 $\arcsin t$ 表示一个角，不表示 $1/\sin t$ 。

复合时为何不能直接约去函数符号

对 $t\in[-1,1]$ ，有 $\sin(\arcsin t)=t$ ；但 $\arcsin(\sin x)=x$ 只在 $x\in[-\pi/2,\pi/2]$ 时成立。在其他区间，要找与 $x$ 正弦相同且落入主值区间的角。例如

\arcsin(\sin(5\pi/6))=\arcsin(1/2)=\pi/6.

余弦、正切、余切的复合也须分别检查上表中的主值区间。

互余关系与奇偶关系

当 $|t|\le1$ 时，

\arcsin t+\arccos t=\pi/2,\quad \arcsin(-t)=-\arcsin t,\quad \arccos(-t)=\pi-\arccos t.

证明第一式，令 $u=\arcsin t$ 。则 $\pi/2-u\in[0,\pi]$ ，且 $\cos(\pi/2-u)=\sin u=t$ ，根据反余弦的唯一性， $\arccos t=\pi/2-u$ 。后两式分别由正弦的奇性、 $\cos(\pi-u)=-\cos u$ 及主值区间得到。

对任意实数 $t$ ， $\arctan(-t)=-\arctan t$ 。反余切的互余关系见反余切的主值约定。

反正切相加时的范围检查

令 $u=\arctan x,v=\arctan y$ ，则 $u+v\in(-\pi,\pi)$ 。若 $xy\ne1$ ，

\tan(u+v)=\frac{x+y}{1-xy}.

右侧给出正切值，还不足以把 $u+v$ 确定在反正切的主值区间。完整结论是

u+v=\begin{cases} \arctan\dfrac{x+y}{1-xy},&xy<1,\\ \arctan\dfrac{x+y}{1-xy}+\pi,&xy>1,\ x>0,\\ \arctan\dfrac{x+y}{1-xy}-\pi,&xy>1,\ x<0. \end{cases}

因为 $\cos u,\cos v>0$ ， $\cos(u+v)=\cos u\cos v(1-xy)$ ，其符号决定和角位于主值区间内还是外。若 $xy=1$ ，则两数同号，和角为 $\pi/2$ （ $x>0$ ）或 $-\pi/2$ （ $x<0$ ）。

反余切的主值约定

把 $\cot x$ 限制在 $(0,\pi)$ ，它严格递减且值域为 $\mathbb R$ ，其反函数记作 $\operatorname{arccot}x$ 。因此

\operatorname{arccot}x\in(0,\pi),\qquad \operatorname{arccot}x=\frac\pi2-\arctan x.

这是因为 $\pi/2-\arctan x\in(0,\pi)$ ，且其余切等于 $x$ 。特别地 $\operatorname{arccot}0=\pi/2$ ，并有 $\operatorname{arccot}(-x)=\pi-\operatorname{arccot}x$ ，所以反余切不是奇函数。

方程 $\cot t=a$ 的全部实解为 $t=\operatorname{arccot}a+k\pi$ ， $k\in\mathbb Z$ 。不同资料可能使用别的主值区间，迁移公式前应先统一约定。

等差角的正弦和与余弦和

设 $a,d\in\mathbb R$ ， $n$ 为正整数。角

a,\ a+d,\ a+2d,\ldots,a+(n-1)d

组成首项为 $a$ 、公差为 $d$ 的等差数列。本节求的是这些角的正弦值之和与余弦值之和：

S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\sin(a+kd),\qquad C_n=\sum_{k=0}^{n-1}\cos(a+kd).

求和公式

若 $\sin(d/2)\ne0$ ，即 $d\notin2\pi\mathbb Z$ ，则

S_n=\frac{\sin(nd/2)}{\sin(d/2)}\sin\left(a+\frac{n-1}{2}d\right),

C_n=\frac{\sin(nd/2)}{\sin(d/2)}\cos\left(a+\frac{n-1}{2}d\right).

若 $d\in2\pi\mathbb Z$ ，各项的三角函数值相同，应直接使用 $S_n=n\sin a,C_n=n\cos a$ ，不能代入分母为零的公式。

证明：先裂项，再消去中间项

由积化和差，对每个 $k=0,\ldots,n-1$ ，

2\sin(d/2)\sin(a+kd) =\cos\left(a+(k-\tfrac12)d\right)-\cos\left(a+(k+\tfrac12)d\right).

求和时，第一项产生 $\cos(a-d/2)-\cos(a+d/2)$ ，第二项产生 $\cos(a+d/2)-\cos(a+3d/2)$ 。前一项中的负余弦与后一项中的正余弦依次抵消，故只剩首尾：

\begin{aligned} 2\sin(d/2)S_n &=\cos(a-d/2)-\cos\left(a+(n-\tfrac12)d\right)\\ &=2\sin\left(a+\frac{n-1}{2}d\right)\sin(nd/2). \end{aligned}

第二个等号使用余弦差的和差化积公式。除以非零的 $2\sin(d/2)$ ，得到正弦和。

对于余弦和，使用

2\sin(d/2)\cos(a+kd) =\sin\left(a+(k+\tfrac12)d\right)-\sin\left(a+(k-\tfrac12)d\right).

相加后得到

\begin{aligned} 2\sin(d/2)C_n &=\sin\left(a+(n-\tfrac12)d\right)-\sin(a-d/2)\\ &=2\cos\left(a+\frac{n-1}{2}d\right)\sin(nd/2), \end{aligned}

再作同样的除法即得。公式中的角 $a+(n-1)d/2$ 正是首角和末角的平均值。

三角裂项中的分母检查

若所有相关正弦非零，则

\frac1{\sin x}=\cot\frac x2-\cot x.

这是因为

\cot\frac x2-\cot x=\frac{1+\cos x}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}=\frac1{\sin x}.

因此对整数 $n\ge0$ ，

\sum_{k=0}^{n}\frac1{\sin(2^kx)}=\cot\frac x2-\cot(2^nx).

先写每一项的裂项式再相加，不能在某个原分母为零时把消去后的有限表达式当作原和的值。

若 $\sin d\ne0$ 且每个 $\cos(a+kd)$ 、 $\cos(a+(k+1)d)$ 非零，则

\frac1{\cos(a+kd)\cos(a+(k+1)d)}= \frac{\tan(a+(k+1)d)-\tan(a+kd)}{\sin d}.

对 $k=0,\ldots,n-1$ 相加，原和为 $[\tan(a+nd)-\tan a]/\sin d$ 。例如 $a=0,d=\pi/6,n=2$ 时结果为 $2\sqrt3$ 。

倍角形成的余弦连乘

设 $x\in\mathbb R$ 、 $n\ge1$ 为整数，则

\sin(2^n x)=2^n\sin x\prod_{k=0}^{n-1}\cos(2^kx).

当 $\sin x\ne0$ 时可相除得到

\prod_{k=0}^{n-1}\cos(2^kx)=\frac{\sin(2^nx)}{2^n\sin x}.

第一条不含除法，对所有实数 $x$ 成立；第二条必须保留分母非零条件。

证明。 $n=1$ 时就是 $\sin2x=2\sin x\cos x$ 。若结论对 $n$ 成立，再使用

\sin(2^{n+1}x)=2\sin(2^nx)\cos(2^nx)

并代入归纳假设，便得到 $n+1$ 个余弦因子的连乘式，故对所有正整数 $n$ 成立。

当 $x=m\pi$ 、 $m\in\mathbb Z$ 时，原连乘中第一因子为 $(-1)^m$ ，其余因子均为 $1$ ，所以乘积为 $(-1)^m$ ；不能把 $0/0$ 当作这个值。

例如 $n=3,x=\pi/9$ 时， $\sin8x=\sin x\ne0$ ，所以

\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ=\frac18.

这个方法适用于角依次翻倍的连乘，与等差角求和所用的裂项方法不同。

等分角的两个有限乘积

对整数 $n\ge2$ ，

\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}.

一种证明使用单位根：令 $\zeta_k=\cos(2k\pi/n)+i\sin(2k\pi/n)$ 。由 $(z^n-1)/(z-1)=\prod_{k=1}^{n-1}(z-\zeta_k)$ ，在 $z=1$ 处得 $n=\prod(1-\zeta_k)$ 。取模且用 $|1-\zeta_k|=2\sin(k\pi/n)$ 即得；正弦因子均为正。

对整数 $n\ge1$ ，另有

\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}=\frac1{2^n}.

证明：倍角公式把 $\prod_{k=1}^n\sin(2k\pi/(2n+1))$ 写成 $2^n$ 乘正弦积与余弦积。利用 $\sin t=\sin(\pi-t)$ ，左侧的 $n$ 个正弦因子恰好是 $\sin(k\pi/(2n+1))$ （ $1\le k\le n$ ）的重排。约去非零的正弦积即得。

关联阅读

先修：三角图像、方程与辅助角 · 复合函数与反函数。

同主题：三角图像、方程与辅助角 · 正余弦定理与三角形度量。