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和差、倍角、半角与和积公式

基础更新于 2026-09-29

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本页从诱导公式和和差公式出发，依次整理倍角、降幂、和积互化、半角及万能公式，并说明各组公式的推导关系。正弦、余弦恒等式通常适用于任意实角；正切和分式形式需要额外检查分母。

诱导公式完整表与符号来源

下表各式在对应函数有定义处成立； $s=\sin x,c=\cos x,t=\tan x,q=\cot x$ 。

角	正弦	余弦	正切	余切
$-x$	$-s$	$c$	$-t$	$-q$
$\pi-x$	$s$	$-c$	$-t$	$-q$
$\pi+x$	$-s$	$-c$	$t$	$q$
$\pi/2-x$	$c$	$s$	$q$	$t$
$\pi/2+x$	$c$	$-s$	$-q$	$-t$
$3\pi/2-x$	$-c$	$-s$	$q$	$t$
$3\pi/2+x$	$-c$	$s$	$-q$	$-t$
$2\pi-x$	$-s$	$c$	$-t$	$-q$
$2\pi+x$	$s$	$c$	$t$	$q$

加 $2k\pi$ 不改六种三角函数；正切、余切还可加 $k\pi$ 。正割、余割的对应式分别把余弦、正弦的结果取倒数，零分母处仍排除。

证明来源是单位圆上的反射和直角旋转：关于 $x$ 轴反射使 $(c,s)$ 变为 $(c,-s)$ ；半周使它变为 $(-c,-s)$ ；转过 $\pi/2$ 使它变为 $(-s,c)$ 。组合这三种动作得到表中正弦和余弦的每行，商则给出正切和余切。所谓“奇变偶不变”只是这些对应的记忆法，不应代替具体公式及定义域。

求值时先减去整周，化到 $[0,2\pi)$ ；再用反射和互余化到第一象限或坐标轴，保留符号；最后应用已知值。轴上角须直接检查定义，不能都当作锐角。

和角、差角与二倍角公式

以下角均为实数。正弦、余弦公式不附加角度范围；含正切或分式时须检查定义域。角度可用弧度或角度制，但同一式中须统一。

和角与差角：六个公式

\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\\ \sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \end{aligned}

\begin{aligned} \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta},\\ \tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}. \end{aligned}

正切公式要求 $\cos\alpha\cos\beta\ne0$ ，且所用的分母 $1\mp\tan\alpha\tan\beta\ne0$ ；后一个条件保证 $\cos(\alpha\pm\beta)\ne0$ 。例如 $\alpha=\beta=\pi/2$ 时，左边的 $\tan(\alpha+\beta)=0$ 虽有意义，右边仍不能使用。

二倍角与降幂

\sin2x=2\sin x\cos x,

\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1,

\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x} \quad(\cos x\ne0,\ \tan^2x\ne1).

移项后得到降幂公式：

\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2},\qquad \sin x\cos x=\frac{\sin2x}{2}.

和差公式处理“角的加减”；倍角公式统一 $x,2x$ ；降幂公式把二次乘积化成一次三角函数。它们是同一组等式的不同使用方向。

和差与倍角公式的推导起点

采用单位圆定义以及平面两点距离公式。单位圆上角 $\alpha,\beta$ 对应的点为 $P=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ 、 $Q=(\cos\beta,\sin\beta)$ 。展开坐标距离：

PQ^2=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta).

将整个图形绕原点旋转 $-\beta$ ，距离不变，两点变为 $(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta))$ 和 $(1,0)$ ，故

PQ^2=2-2\cos(\alpha-\beta).

比较即得余弦差角公式。把 $\beta$ 换成 $-\beta$ ，利用余弦为偶函数、正弦为奇函数，得到余弦和角公式。

再由单位圆的互余关系 $\sin u=\cos(\pi/2-u)$ ，

\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &=\cos\bigl((\pi/2-\alpha)-\beta\bigr)\\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \end{aligned}

把 $\beta$ 换成 $-\beta$ 得正弦差角公式。将正弦和差公式除以相应的余弦公式，再把分子分母同除以 $\cos\alpha\cos\beta$ ，得到正切公式；这两次除法正是需要非零条件的地方。

最后在和角公式中令 $\alpha=\beta=x$ ，得到二倍角公式。利用 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 消去其中一个平方项，即得到余弦二倍角的三种写法及降幂公式。

积化和差与和差化积：八式及推导

积化和差：四个公式

\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2,\\ \cos\alpha\sin\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}2,\\ \cos\alpha\cos\beta&=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}2,\\ \sin\alpha\sin\beta&=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}2. \end{aligned}

推导时，令 $S_+=\sin(\alpha+\beta)$ 、 $S_-=\sin(\alpha-\beta)$ 。两式相加，含 $\cos\alpha\sin\beta$ 的项抵消，得到 $S_++S_-=2\sin\alpha\cos\beta$ ；两式相减则得到 $S_+-S_-=2\cos\alpha\sin\beta$ 。

同理令 $C_+=\cos(\alpha+\beta)$ 、 $C_-=\cos(\alpha-\beta)$ 。相加得 $C_++C_-=2\cos\alpha\cos\beta$ ；用差角减和角得 $C_--C_+=2\sin\alpha\sin\beta$ 。各式除以 $2$ ，即为上表。

和差化积：四个公式

\begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \end{aligned}

令 $u=(\alpha+\beta)/2,v=(\alpha-\beta)/2$ ，则 $u+v=\alpha,u-v=\beta$ 。把积化和差四式的角改成 $u,v$ ，再把“积”移到右边，依次得到以上四式。最后一式的负号来自 $\cos(u+v)-\cos(u-v)=-2\sin u\sin v$ ，不能丢掉。

全部八式对任意实数角成立，推导没有除以任何三角函数。

半角公式：平方、根式与正切的不同条件

在降幂公式中把 $x$ 换为 $x/2$ ：

\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2},\qquad \cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}{2}.

因而

\sin\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\qquad \cos\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.

这里的 $\pm$ 不是可以任选：须分别由 $x/2$ 所在象限决定；两式也不必同号。已知 $x$ 的范围时，要先除以 $2$ 再判断象限。

正切半角的三种写法须分别列条件：

\tan\frac x2=\frac{\sin x}{1+\cos x} \quad(\cos x\ne-1),

\tan\frac x2=\frac{1-\cos x}{\sin x} \quad(\sin x\ne0),

\tan\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \quad(\cos x\ne-1).

第一式：代入 $\sin x=2\sin(x/2)\cos(x/2)$ 和 $1+\cos x=2\cos^2(x/2)$ ，约去非零的 $2\cos(x/2)$ 。第二式：用 $1-\cos x=2\sin^2(x/2)$ ，约去非零的 $2\sin(x/2)$ 。第三式：两条平方半角公式相除后开方，符号由 $\tan(x/2)$ 决定。

例如 $x=0$ 时第一式成立、第二式无定义； $x=4\pi/3$ 时 $x/2$ 在第二象限，正弦半角取正、余弦半角取负、正切半角取负。不能把三个分式无条件写在一条等号链上。

三倍角公式：多项式形式与正切条件

\sin3x=3\sin x-4\sin^3x,\qquad \cos3x=4\cos^3x-3\cos x,

\tan3x=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x} \quad(\cos x\ne0,\ 1-3\tan^2x\ne0).

写 $s=\sin x,c=\cos x$ ，把 $3x=2x+x$ 展开：

\begin{aligned} \sin3x&=2sc\cdot c+(1-2s^2)s =2s(1-s^2)+s-2s^3=3s-4s^3,\\ \cos3x&=(2c^2-1)c-2sc\cdot s =2c^3-c-2c(1-c^2)=4c^3-3c. \end{aligned}

正切公式由两式相除得到：先写分子为 $3sc^2-s^3$ 、分母为 $c^3-3cs^2$ ，再同除以 $c^3$ 。它不要求 $\tan2x$ 存在。例如 $x=\pi/4$ 时此公式仍可用，不能因为经由正切二倍角的某条推导中间无定义而额外排除它。

平方差形式的常用恒等式

对任意实数 $\alpha,\beta$ ，有

\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta),

\cos^2\alpha-\cos^2\beta=-\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta),

\cos^2\alpha-\sin^2\beta=\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta).

证明。 第一式由

\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\frac{\cos2\beta-\cos2\alpha}{2} =\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)

得到；第二式用 $\cos^2t=1-\sin^2t$ 取相反数。第三式由

\cos^2\alpha-\sin^2\beta=\frac{\cos2\alpha+\cos2\beta}{2} =\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)

得到。它们适合将平方差化为积，以便判断符号、求零点或约分；约分仍须单独保留因子为零的情形。

三倍角的乘积形式及证明

三个乘积公式为

\sin3x=4\sin x\sin(\pi/3-x)\sin(\pi/3+x),

\cos3x=4\cos x\cos(\pi/3-x)\cos(\pi/3+x),

\tan3x=\tan x\tan(\pi/3-x)\tan(\pi/3+x).

前两式对所有实数 $x$ 成立；第三式要求 $\cos x,\cos(\pi/3-x),\cos(\pi/3+x)$ 均非零。这也保证它们乘积的四倍 $\cos3x$ 非零。

先展开两侧偏移角的乘积：

\begin{aligned} \sin(u-v)\sin(u+v) &=(\sin u\cos v-\cos u\sin v)(\sin u\cos v+\cos u\sin v)\\ &=\sin^2u\cos^2v-\cos^2u\sin^2v=\sin^2u-\sin^2v. \end{aligned}

取 $u=\pi/3,v=x$ ，中间两个正弦的乘积为 $3/4-\sin^2x$ ；再乘 $4\sin x$ ，得到 $3\sin x-4\sin^3x=\sin3x$ 。

余弦情形同样展开：

\cos(u-v)\cos(u+v)=\cos^2u\cos^2v-\sin^2u\sin^2v =\cos^2u-\sin^2v.

取 $u=\pi/3,v=x$ ，得 $1/4-\sin^2x=\cos^2x-3/4$ ；乘 $4\cos x$ 即得 $\cos3x$ 。最后将正弦连乘式除以余弦连乘式，便得到正切连乘式。

例如 $x=\pi/9$ 时， $\sin(\pi/9)\sin(2\pi/9)\sin(4\pi/9)=\sin(\pi/3)/4=\sqrt3/8$ 。

任意整数倍角的多项式结构

多倍角不仅有二倍角、三倍角公式。对每个非负整数 $n$ ，存在整系数多项式 $T_n$ ，使

\cos(nx)=T_n(\cos x).

具体地，

T_0(t)=1,\qquad T_1(t)=t,\qquad T_{n+1}(t)=2tT_n(t)-T_{n-1}(t)\quad(n\ge1).

证明。 将余弦和差公式相加，得

\cos((n+1)x)+\cos((n-1)x)=2\cos x\cos(nx).

递推起点为 $1,\cos x$ ，每一步只做整系数的加减乘法，故得到所述多项式。 $n\ge1$ 时 $T_n$ 次数为 $n$ ，首项系数为 $2^{n-1}$ ，可由递推逐步证明。比如 $T_2=2t^2-1$ 、 $T_3=4t^3-3t$ 、 $T_4=8t^4-8t^2+1$ 。

正弦的结构与 $n$ 的奇偶有关： $n$ 为奇数时， $\sin nx$ 是 $\sin x$ 的 $n$ 次整系数多项式； $n$ 为正偶数时，它是 $\cos x$ 乘以 $\sin x$ 的 $n-1$ 次整系数多项式。

由棣莫弗公式展开 $(\cos x+i\sin x)^n$ 并取虚部，

\sin nx=\sum_{j=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} (-1)^j\binom n{2j+1}\cos^{n-2j-1}x\sin^{2j+1}x.

$n$ 为奇数时，余弦的幂全为偶数，代入 $\cos^2x=1-\sin^2x$ ； $n$ 为偶数时，先提出一个 $\cos x$ 再做同样代换，即得结论。各项均为有限多项式运算，不存在除以三角函数所造成的定义域损失。

万能公式：有理化与遗漏角

令 $t=\tan(x/2)$ ，要求 $x\ne(2k+1)\pi$ （ $k\in\mathbb Z$ ）。由

1+t^2=\frac1{\cos^2(x/2)}

得

\sin x=2\tan\frac x2\cos^2\frac x2=\frac{2t}{1+t^2},

\cos x=(1-\tan^2\tfrac x2)\cos^2\tfrac x2=\frac{1-t^2}{1+t^2}.

因此三条万能公式是

\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \tan x=\frac{2t}{1-t^2}.

前两式对所有实数 $t$ 都有意义，第三式另须 $t\ne\pm1$ 。解题流程是：记录原定义域；单独检查 $x=(2k+1)\pi$ ；对其余角使用换元；解出 $t$ 后还原 $x=2\arctan t+2k\pi$ ，最后代回原式。不能把换元未覆盖的角自动当作原方程无解。

例：特殊角求值与万能换元验解

由差角公式，

\sin15^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.

再解 $\sin x=1+\cos x$ 。原式对所有实数 $x$ 有意义。先检查 $x=(2k+1)\pi$ ：两边都为零，所以这些角是解。其余角令 $t=\tan(x/2)$ ：

\frac{2t}{1+t^2}=1+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac2{1+t^2}.

因为 $1+t^2>0$ ，等价于 $t=1$ ，给出 $x=\pi/2+2k\pi$ 。完整解集为 $x=\pi/2+2k\pi$ 或 $x=\pi+2k\pi$ ， $k\in\mathbb Z$ 。漏查换元例外会漏掉整支解。

例：角的范围决定求值时的符号

设 $\sin\alpha=3/5$ ， $\alpha\in(\pi/2,\pi)$ ； $\cos\beta=12/13$ ， $\beta\in(0,\pi/2)$ 。先由范围得到 $\cos\alpha=-4/5$ 、 $\sin\beta=5/13$ ，再代入

\sin(\alpha+\beta)=\frac35\frac{12}{13}-\frac45\frac5{13}=\frac{16}{65},

\cos(\alpha+\beta)=-\frac45\frac{12}{13}-\frac35\frac5{13}=-\frac{63}{65}.

结果一正一负，说明和角在第二象限；这也与和角的范围相容。先求符号再代公式，可以避免根式开方时漏掉负号。

例：把三角式化为有范围限制的二次式

求 $F(x)=\sin x+\cos x+\sin2x$ 在 $\mathbb R$ 上的值域。设 $t=\sin x+\cos x$ ，由辅助角公式， $t$ 遍历 $[-\sqrt2,\sqrt2]$ ，并且 $\sin2x=t^2-1$ 。于是

F=t^2+t-1=\left(t+\frac12\right)^2-\frac54.

顶点 $t=-1/2$ 在允许区间内，最小值为 $-5/4$ ；最大值比较两个端点，得 $1+\sqrt2$ 。因二次函数在该区间连续，值域为 $[-5/4,1+\sqrt2]$ 。

这一步成功的关键是求出了新变量的准确范围。若原来的 $x$ 只取某一短区间， $t$ 不一定遍历整个 $[-\sqrt2,\sqrt2]$ ，答案必须重算。

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